大连理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的子空间．
（1）若 $V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，证明：在 $V$ 上存在唯一的幂等变换 $\mathscr{A}\left(\mathscr{A}^{2}=\mathscr{A}\right)$ ，使得
$$
V_{1}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}, V_{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A} .
$$
（2）设
$$
\begin{gathered}
V_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in P^{n} \mid x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0\right\}, \\
V_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in P^{n} \mid x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}\right\} .
\end{gathered}
$$
证明：$P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ，并求 $P^{n}$ 上的幂等变换 $\mathscr{A}$ ，使得 $V_{1}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}, V_{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明存在性：定义映射并验证线性与幂等性
设 $V = V_1 \oplus V_2$，则对任意 $\alpha \in V$，存在唯一的 $\alpha_1 \in V_1$，$\alpha_2 \in V_2$，使得 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$。定义映射 $\mathscr{A}: V \to V$ 为 $\mathscr{A}(\alpha) = \alpha_2$。
- **线性性**：对任意 $\alpha, \beta \in V$ 和 $k \in P$，设 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$，$\beta = \beta_1 + \beta_2$，则 $\alpha + \beta = (\alpha_1+\beta_1) + (\alpha_2+\beta_2)$，$k\alpha = k\alpha_1 + k\alpha_2$，于是 $\mathscr{A}(\alpha+\beta) = \alpha_2+\beta_2 = \mathscr{A}(\alpha)+\mathscr{A}(\beta)$，$\mathscr{A}(k\alpha) = k\alpha_2 = k\mathscr{A}(\alpha)$。
- **幂等性**：$\mathscr{A}^2(\alpha) = \mathscr{A}(\alpha_2) = \alpha_2 = \mathscr{A}(\alpha)$，故 $\mathscr{A}^2 = \mathscr{A}$。
公式：\mathscr{A}(\alpha) = \alpha_2
提示：注意直和分解的唯一性是定义映射的基础，需强调分解的唯一性。
步骤 2/5
目标：验证核与像的条件
计算 $\operatorname{Ker}\mathscr{A} = \{\alpha \in V \mid \mathscr{A}(\alpha)=0\} = \{\alpha_1+\alpha_2 \mid \alpha_2=0\} = V_1$；$\operatorname{Im}\mathscr{A} = \{\mathscr{A}(\alpha) \mid \alpha \in V\} = \{\alpha_2 \mid \alpha_2 \in V_2\} = V_2$。因此 $\mathscr{A}$ 满足条件。
提示：注意核与像的定义，直接由映射定义得出。
步骤 3/5
目标：证明唯一性
设 $\mathscr{B}$ 是另一个满足条件的幂等变换，则对任意 $\alpha = \alpha_1+\alpha_2$，有 $\mathscr{B}(\alpha) = \mathscr{B}(\alpha_1)+\mathscr{B}(\alpha_2)$。由于 $\alpha_1 \in \operatorname{Ker}\mathscr{B}$，$\alpha_2 \in \operatorname{Im}\mathscr{B}$，且 $\mathscr{B}$ 是幂等变换，有 $\mathscr{B}(\alpha_1)=0$，$\mathscr{B}(\alpha_2)=\alpha_2$，故 $\mathscr{B}(\alpha)=\alpha_2 = \mathscr{A}(\alpha)$，所以 $\mathscr{B}=\mathscr{A}$。
提示：唯一性证明中利用了幂等变换在像上的作用恒等，在核上为零的性质。
步骤 4/5
目标：证明 $P^n = V_1 \oplus V_2$：交与和
首先，$V_1 = \{(x_1,\dots,x_n) \in P^n \mid \sum_{i=1}^n x_i = 0\}$，$V_2 = \{(c,\dots,c) \in P^n \mid c \in P\}$。
- **交**：若 $\alpha \in V_1 \cap V_2$，则 $\alpha = (c,\dots,c)$ 且 $nc=0$。在通常数域（如实数域）下，$c=0$，故 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
- **和**：对任意 $\alpha = (x_1,\dots,x_n) \in P^n$，令 $c = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$，则 $\alpha = (x_1-c,\dots,x_n-c) + (c,\dots,c)$，其中第一项属于 $V_1$（因为分量和为0），第二项属于 $V_2$。因此 $P^n = V_1 + V_2$。
- 综上，$P^n = V_1 \oplus V_2$。
公式：c = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
提示：注意数域 $P$ 的特征不能整除 $n$，否则 $V_1 \cap V_2$ 可能非零。通常题目默认 $P$ 为实数域或复数域。
步骤 5/5
目标：求幂等变换 $\mathscr{A}$ 的具体表达式
由(1)知，$\mathscr{A}$ 将向量投影到 $V_2$ 分量，即 $\mathscr{A}(\alpha) = (c,\dots,c)$，其中 $c = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$。因此，$\mathscr{A}$ 在标准基下的矩阵为 $\frac{1}{n} J$，其中 $J$ 是所有元素为1的 $n \times n$ 矩阵。即
$$
\mathscr{A}(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \dots, \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \right).
$$
公式：\mathscr{A}(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \dots, \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \right)
提示：注意投影到 $V_2$ 即取平均值，矩阵形式为 $\frac{1}{n}J$。
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