大连理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
1．$f(x)$ 是首 1 的 $n$ 次多项式，且 $f(1)=0$ ．若 $f^{\prime}(x) \mid f(x)$ ，证明：$f(x)=(x-1)^{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设出因式分解形式
由于 $f(1)=0$，故 $x-1$ 是 $f(x)$ 的因式。设 $f(x)=(x-1)^k g(x)$，其中 $g(1)\neq 0$，$k\geq 1$。
提示：注意 $g(1)\neq 0$ 确保 $k$ 是重根次数。
步骤 2/8
目标：求导并利用整除条件
求导得 $f'(x)=k(x-1)^{k-1}g(x)+(x-1)^k g'(x)=(x-1)^{k-1}[k g(x)+(x-1)g'(x)]$。由 $f'(x)\mid f(x)$，存在多项式 $h(x)$ 使得 $f(x)=f'(x)h(x)$。代入得 $(x-1)^k g(x)=(x-1)^{k-1}[k g(x)+(x-1)g'(x)]h(x)$，约去 $(x-1)^{k-1}$ 得 $(x-1)g(x)=[k g(x)+(x-1)g'(x)]h(x)$。
公式：f(x)=f'(x)h(x)
提示：约去公因子时注意 $k\geq 1$，且 $x-1$ 可能为零，但多项式等式恒成立。
步骤 3/8
目标：代入 $x=1$ 得到 $h(1)=0$
令 $x=1$，左边为 $0$，右边为 $k g(1)h(1)$。由于 $g(1)\neq 0$，故 $h(1)=0$，即 $x-1\mid h(x)$。
提示：代入 $x=1$ 时注意 $g(1)\neq 0$ 是关键。
步骤 4/8
目标：设 $h(x)=(x-1)h_1(x)$ 并代入
设 $h(x)=(x-1)h_1(x)$，代入 $(x-1)g(x)=[k g(x)+(x-1)g'(x)]h(x)$ 得 $(x-1)g(x)=[k g(x)+(x-1)g'(x)](x-1)h_1(x)$，约去 $x-1$ 得 $g(x)=[k g(x)+(x-1)g'(x)]h_1(x)$。
提示：约去 $x-1$ 时注意 $x-1$ 可能为零，但多项式等式成立。
步骤 5/8
目标：再次代入 $x=1$ 确定 $k$
令 $x=1$ 得 $g(1)=k g(1)h_1(1)$，故 $h_1(1)=1/k$。由于 $h_1(x)$ 是多项式，$h_1(1)$ 为有理数，但 $k$ 为整数，故 $k=1$ 且 $h_1(1)=1$。
提示：注意 $h_1(1)$ 必须为整数？实际上多项式在整数点取值不一定整数，但这里 $h_1(1)$ 是有理数，而 $k$ 是整数，所以 $1/k$ 是有理数，但 $h_1(1)$ 可以是任意有理数，所以这一步推理有漏洞？实际上更严谨的推理是：由于 $h_1(x)$ 是多项式，$h_1(1)$ 是常数，但 $k$ 是正整数，由 $g(1)=k g(1)h_1(1)$ 且 $g(1)\neq 0$ 得 $h_1(1)=1/k$。但 $h_1(1)$ 是常数，而 $k$ 是整数，所以 $1/k$ 是常数，没有矛盾。实际上 $k$ 可以是任何正整数，但后续步骤会推出 $k=1$。这里先保留 $k$，继续推导。
步骤 6/8
目标：比较次数确定 $h_1(x)$ 为常数
由 $g(x)=[k g(x)+(x-1)g'(x)]h_1(x)$，比较次数：$\deg g = n-k$，$\deg [k g+(x-1)g'] = n-k$（因为 $(x-1)g'$ 次数不超过 $n-k$，且 $k g$ 次数为 $n-k$，若 $g'$ 非零则可能抵消，但一般次数仍为 $n-k$），故 $\deg h_1 = 0$，即 $h_1(x)$ 为常数。
提示：注意 $g$ 是首1多项式，次数为 $n-k$，$g'$ 次数为 $n-k-1$，所以 $(x-1)g'$ 次数为 $n-k$，但可能最高次项抵消，但这里不影响结论。
步骤 7/8
目标：利用 $h_1(1)=1/k$ 和 $h_1$ 为常数得 $h_1(x)=1/k$
由于 $h_1(x)$ 是常数，设为 $c$，则 $c = h_1(1) = 1/k$，故 $h_1(x)=1/k$。代入 $g(x)=[k g(x)+(x-1)g'(x)]\cdot \frac{1}{k}$，得 $g(x)=g(x)+\frac{1}{k}(x-1)g'(x)$，即 $\frac{1}{k}(x-1)g'(x)=0$，故 $(x-1)g'(x)=0$，所以 $g'(x)=0$，$g(x)$ 为常数。
提示：注意 $g(x)$ 是多项式，$g'(x)=0$ 推出 $g(x)$ 为常数。
步骤 8/8
目标：确定 $g(x)$ 和 $k$，得到最终结果
由于 $g(x)$ 是常数且首1，故 $g(x)=1$。又 $g(x)$ 次数为 $n-k$，而常数次数为0，故 $n-k=0$，即 $k=n$。因此 $f(x)=(x-1)^n$。
提示：注意 $f(x)$ 是首1的 $n$ 次多项式，所以 $g(x)$ 首1。
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