大连理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
2．向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 的秩为 $r$ ，任取 $t$ 个向量 $\alpha_{i_{1}}, \alpha_{i_{2}}, \cdots, \alpha_{i_{t}}$ ，证明它的秩大于等式 $r-s+t$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件与待证结论
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s$ 的秩为 $r$，即该向量组的极大线性无关组含有 $r$ 个向量。任取 $t$ 个向量 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \dots, \alpha_{i_t}$，记其秩为 $k$，需证明 $k \geq r + t - s$。
提示：注意秩的定义：向量组的秩等于其极大线性无关组所含向量的个数。
步骤 2/6
目标：引入子集与补集
设原向量组为 $S = \{\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_s\}$，取出的 $t$ 个向量构成子集 $T = \{\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \dots, \alpha_{i_t}\}$。则 $S$ 中不在 $T$ 中的向量共有 $s - t$ 个，记作 $U = S \setminus T$。
提示：注意 $T$ 是 $S$ 的子集，$U$ 是 $T$ 在 $S$ 中的补集。
步骤 3/6
目标：利用极大线性无关组的扩充性质
由于 $T$ 的秩为 $k$，故 $T$ 中存在一个极大线性无关组 $B$，含有 $k$ 个向量。$B$ 可以扩充为 $S$ 的极大线性无关组，即存在 $S$ 中的一些向量添加到 $B$ 中，使得新向量组线性无关且秩为 $r$。添加的向量个数为 $r - k$。
提示：极大线性无关组的扩充：任何线性无关组都可以扩充为整个向量组的极大线性无关组。
步骤 4/6
目标：分析添加向量的来源限制
添加的向量必须来自 $S$，且不能来自 $T$（因为 $B$ 已经是 $T$ 的极大无关组，添加 $T$ 中其他向量会线性相关），所以只能从 $U$ 中选取。而 $U$ 中仅有 $s - t$ 个向量，因此添加的向量个数 $r - k$ 不能超过 $U$ 中向量的个数，即 $r - k \leq s - t$。
公式：r - k \leq s - t
提示：注意：添加的向量必须线性无关于 $B$，且只能从 $U$ 中取，因为 $T$ 中其余向量已被 $B$ 线性表示。
步骤 5/6
目标：推导不等式并得出结论
由 $r - k \leq s - t$ 移项得 $k \geq r - (s - t) = r + t - s$。因此，取出的 $t$ 个向量的秩 $k$ 至少为 $r + t - s$，即 $\operatorname{rank}\{\alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_t}\} \geq r + t - s$。
公式：k \geq r + t - s
提示：注意不等号方向：移项时注意符号变化。
步骤 6/6
目标：总结证明
综上，命题得证：任取 $t$ 个向量构成的子向量组的秩不小于 $r + t - s$。
提示：该结论常用于估计子向量组秩的下界。
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