大连理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $A$ 是实反称矩阵，证明：$E+A$ 可逆，且 $Q=(E-A)(E+A)^{-1}$ 为 $|Q|=1$ 的正交矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明E+A可逆：转化为齐次方程只有零解
设 $(E+A)x=0$，则 $x+Ax=0$，即 $Ax=-x$。
提示：注意反称矩阵定义 $A^T=-A$
步骤 2/6
目标：利用转置得到第二个等式
对 $Ax=-x$ 两边取转置得 $x^T A^T = -x^T$，代入 $A^T=-A$ 得 $-x^T A = -x^T$，即 $x^T A = x^T$。
公式：$A^T=-A$
提示：转置时注意 $(Ax)^T = x^T A^T$
步骤 3/6
目标：联立两个等式推出x=0
将 $Ax=-x$ 左乘 $x^T$ 得 $x^T A x = -x^T x$；将 $x^T A = x^T$ 右乘 $x$ 得 $x^T A x = x^T x$。因此 $-x^T x = x^T x$，即 $2x^T x=0$，故 $x=0$。所以 $(E+A)x=0$ 只有零解，$E+A$ 可逆。
提示：注意 $x^T x$ 是正定二次型，非负
步骤 4/6
目标：计算Q的转置
令 $Q=(E-A)(E+A)^{-1}$。由 $A^T=-A$ 得 $(E-A)^T = E+A$，$(E+A)^T = E-A$。于是 $Q^T = [(E+A)^{-1}]^T (E-A)^T = [(E+A)^T]^{-1} (E+A) = (E-A)^{-1}(E+A)$。
公式：$(AB)^T = B^T A^T$，$(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$
提示：注意矩阵乘法顺序
步骤 5/6
目标：验证Q^T Q = E
计算 $Q^T Q = (E-A)^{-1}(E+A)(E-A)(E+A)^{-1}$。由于 $(E+A)(E-A)=E-A^2=(E-A)(E+A)$，所以 $E+A$ 与 $E-A$ 可交换。因此 $Q^T Q = (E-A)^{-1}(E-A)(E+A)(E+A)^{-1}=E$。故 $Q$ 是正交矩阵。
公式：$(E+A)(E-A)=(E-A)(E+A)$
提示：交换性需验证，不能直接认为可交换
步骤 6/6
目标：计算Q的行列式
$|Q| = |(E-A)(E+A)^{-1}| = |E-A| \cdot |E+A|^{-1}$。由于 $(E-A)^T = E+A$，故 $|E-A| = |E+A|$。因此 $|Q| = |E+A| \cdot |E+A|^{-1} = 1$。
公式：$|AB|=|A||B|$，$|A^{-1}|=|A|^{-1}$，$|A^T|=|A|$
提示：注意 $|E+A| \neq 0$ 已由可逆保证
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