大连理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
4．已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{3}=O$ ，证明：$\displaystyle E+A+\frac{A^{2}}{2}$ 可逆．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解问题与思路
已知 $A^3=O$，要证明 $E+A+\frac{A^2}{2}$ 可逆。通常思路是构造其逆矩阵。由于 $A$ 是幂零矩阵（指数为3），可考虑用多项式方法，找到多项式 $g(x)$ 使得 $(1+x+\frac{x^2}{2})g(x) \equiv 1 \pmod{x^3}$，则 $g(A)$ 即为逆矩阵。
提示：注意 $A^3=O$ 意味着 $A$ 的幂次高于2的项均为零矩阵，因此多项式乘法中只需保留到 $x^2$ 项。
步骤 2/5
目标：设定待求多项式
设 $g(x)=a+bx+cx^2$，其中 $a,b,c$ 为待定系数。计算乘积：
$$f(x)g(x) = (1+x+\frac{x^2}{2})(a+bx+cx^2) = a + (a+b)x + \left(\frac{a}{2}+b+c\right)x^2 + \left(\frac{b}{2}+c\right)x^3 + \frac{c}{2}x^4.$$
提示：多项式乘法要仔细，注意合并同类项。
步骤 3/5
目标：建立方程组求解系数
由于 $A^3=O$，$x^3$ 及以上项代入 $A$ 后为零，因此只需常数项为1，$x$ 和 $x^2$ 项系数为0。得到方程组：
$$\begin{cases} a = 1, \\ a+b = 0, \\ \frac{a}{2}+b+c = 0. \end{cases}$$
解得 $a=1$, $b=-1$, $c=\frac{1}{2}$。因此 $g(x)=1-x+\frac{1}{2}x^2$。
提示：解方程组时注意符号，$b=-1$ 代入第三个方程得 $\frac{1}{2}-1+c=0$，所以 $c=\frac{1}{2}$。
步骤 4/5
目标：验证乘积为单位矩阵
计算矩阵乘积：
$$(E+A+\frac{A^2}{2})(E-A+\frac{A^2}{2}) = E + (-A+A) + \left(\frac{A^2}{2} - A^2 + \frac{A^2}{2}\right) + \text{含 }A^3\text{ 和 }A^4\text{ 的项}.$$
由于 $A^3=O$，$A^4=A\cdot A^3=O$，所以所有含 $A^3$ 及更高次项均为零矩阵。因此乘积等于 $E$。
提示：计算乘积时，注意 $A$ 与 $A^2$ 不一定可交换，但这里多项式是 $A$ 的多项式，所以乘法可交换。实际上，$A$ 与 $A^2$ 总是可交换的。
步骤 5/5
目标：得出结论
由 $(E+A+\frac{A^2}{2})(E-A+\frac{A^2}{2}) = E$ 可知 $E+A+\frac{A^2}{2}$ 可逆，且其逆矩阵为 $E-A+\frac{A^2}{2}$。
提示：注意逆矩阵的唯一性，这里我们找到了一个具体的逆矩阵。
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