大连理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $\mathscr{A}$ 为欧氏空间 $V$ 上的正交变换，$W \subseteq V$ 是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间，证明：$W^{\perp}$ 也是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待证结论
已知 $\mathscr{A}$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换，$W \subseteq V$ 是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间，即 $\mathscr{A}(W) \subseteq W$。要证明 $W^{\perp}$ 也是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间，即 $\mathscr{A}(W^{\perp}) \subseteq W^{\perp}$。
提示：注意区分不变子空间的定义：$\mathscr{A}(W) \subseteq W$ 而非 $\mathscr{A}(W)=W$。
步骤 2/6
目标：任取 $W^{\perp}$ 中向量，转化为内积条件
任取 $\alpha \in W^{\perp}$，要证 $\mathscr{A}(\alpha) \in W^{\perp}$，即对任意 $\beta \in W$，有 $(\mathscr{A}(\alpha), \beta) = 0$。
公式：$W^{\perp} = \{ x \in V \mid (x, y)=0, \forall y \in W \}$
提示：注意 $W^{\perp}$ 的定义：与 $W$ 中所有向量正交的向量集合。
步骤 3/6
目标：利用正交变换保持内积的性质
由于 $\mathscr{A}$ 是正交变换，它保持内积：对任意 $x, y \in V$，有 $(\mathscr{A}(x), \mathscr{A}(y)) = (x, y)$。
公式：$(\mathscr{A}(x), \mathscr{A}(y)) = (x, y)$
提示：正交变换的定义：保持内积的线性变换，且可逆。
步骤 4/6
目标：利用 $W$ 的不变性和正交变换的可逆性
因为 $W$ 是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间，且 $\mathscr{A}$ 在 $W$ 上的限制是 $W$ 上的正交变换（从而满射），所以对任意 $\beta \in W$，存在 $\gamma \in W$ 使得 $\beta = \mathscr{A}(\gamma)$。
公式：$\mathscr{A}|_W : W \to W$ 是双射（正交变换限制在不变子空间上仍是正交变换）
提示：注意：正交变换可逆，且限制在不变子空间上仍是正交变换，因此是满射。
步骤 5/6
目标：代入内积并利用 $\alpha \in W^{\perp}$
于是 $(\mathscr{A}(\alpha), \beta) = (\mathscr{A}(\alpha), \mathscr{A}(\gamma)) = (\alpha, \gamma) = 0$，因为 $\alpha \in W^{\perp}$ 且 $\gamma \in W$。
公式：$(\mathscr{A}(\alpha), \mathscr{A}(\gamma)) = (\alpha, \gamma)$
提示：注意：$\alpha$ 与 $\gamma$ 正交是因为 $\alpha \in W^{\perp}$，$\gamma \in W$。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此 $\mathscr{A}(\alpha) \in W^{\perp}$，由 $\alpha$ 的任意性知 $\mathscr{A}(W^{\perp}) \subseteq W^{\perp}$，即 $W^{\perp}$ 是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间。
提示：注意：证明子空间不变性需验证对任意向量成立。
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