大连理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
7．设 $A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，且 $A B=B A$ ，证明：$A B$ 也正定．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明AB是对称矩阵
由于A和B都是正定矩阵，所以A和B都是实对称矩阵，即$A^T = A$, $B^T = B$。又已知$AB = BA$，则$(AB)^T = B^T A^T = BA = AB$，因此AB是实对称矩阵。
公式：$(AB)^T = B^T A^T$
提示：注意矩阵乘积的转置法则：$(AB)^T = B^T A^T$，不要写成$A^T B^T$。
步骤 2/6
目标：利用A的正定性进行正交对角化
因为A是正定矩阵，所以存在正交矩阵P使得$P^T A P = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中$\lambda_i > 0$是A的特征值。
公式：$P^T A P = \Lambda$
提示：正定矩阵的特征值全大于零，且可正交对角化。
步骤 3/6
目标：利用交换性同时对角化B
由$AB = BA$可知，B与A可交换，因此B在相同的正交变换下可对角化，即$P^T B P = \operatorname{diag}(\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_n)$，其中$\mu_i > 0$是B的特征值（因为B正定）。
公式：$P^T B P = \operatorname{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)$
提示：可交换的对称矩阵可以同时正交对角化，这是关键步骤。
步骤 4/6
目标：计算AB在正交变换下的对角化形式
计算$P^T (AB) P = (P^T A P)(P^T B P) = \Lambda \cdot \operatorname{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n) = \operatorname{diag}(\lambda_1 \mu_1, \lambda_2 \mu_2, \dots, \lambda_n \mu_n)$。
公式：$P^T (AB) P = \operatorname{diag}(\lambda_1 \mu_1, \dots, \lambda_n \mu_n)$
提示：注意矩阵乘法：$P^T A P$和$P^T B P$都是对角矩阵，乘积仍为对角矩阵。
步骤 5/6
目标：得出AB的特征值全为正
由上式可知，AB的特征值为$\lambda_i \mu_i$，由于$\lambda_i > 0$且$\mu_i > 0$，所以$\lambda_i \mu_i > 0$，即AB的所有特征值都大于零。
提示：正定矩阵的特征值全大于零，反之亦然。
步骤 6/6
目标：综合结论
AB是实对称矩阵且所有特征值大于零，根据正定矩阵的定义，AB是正定矩阵。
提示：正定矩阵的判定：实对称且特征值全正。
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