大连理工大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
8．设 $A$ 是实矩阵，其特征值均为实数，证明：存在正交矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1} A T$ 为上三角矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：归纳基础：n=1时结论成立
当 $n=1$ 时，矩阵 $A$ 本身即为上三角矩阵，取 $T$ 为单位矩阵即可。
提示：注意归纳基础必须验证。
步骤 2/8
目标：归纳假设：假设对n-1阶矩阵成立
假设对于任意 $n-1$ 阶实矩阵，若其特征值均为实数，则存在正交矩阵使其相似于上三角矩阵。
提示：归纳假设是证明的关键，需明确假设条件。
步骤 3/8
目标：取特征值和特征向量
由于 $A$ 的特征值均为实数，取一个特征值 $\lambda_1$ 及其对应的特征向量 $\alpha_1$，满足 $A\alpha_1 = \lambda_1 \alpha_1$。
公式：A\alpha_1 = \lambda_1 \alpha_1
提示：特征向量非零，需单位化。
步骤 4/8
目标：构造正交矩阵T1
将 $\alpha_1$ 单位化得 $\xi_1 = \frac{\alpha_1}{\|\alpha_1\|}$，再扩充为 $\mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基 $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$，令 $T_1 = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n)$，则 $T_1$ 是正交矩阵。
公式：\xi_1 = \frac{\alpha_1}{\|\alpha_1\|}, \quad T_1 = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n)
提示：扩充基时需确保正交性，可用Gram-Schmidt过程。
步骤 5/8
目标：计算T1^{-1}AT1
由于 $T_1^{-1}=T_1^T$，计算得
\[ T_1^{-1} A T_1 = \begin{pmatrix} \xi_1^T A \xi_1 & \xi_1^T A \xi_2 & \cdots & \xi_1^T A \xi_n \\ \xi_2^T A \xi_1 & \xi_2^T A \xi_2 & \cdots & \xi_2^T A \xi_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \xi_n^T A \xi_1 & \xi_n^T A \xi_2 & \cdots & \xi_n^T A \xi_n \end{pmatrix}. \]
因为 $A\xi_1 = \lambda_1 \xi_1$，所以 $\xi_i^T A \xi_1 = \lambda_1 \xi_i^T \xi_1 = 0$ 对 $i \geq 2$，且 $\xi_1^T A \xi_1 = \lambda_1$。因此
\[ T_1^{-1} A T_1 = \begin{pmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}, \]
其中 $A_1$ 是 $n-1$ 阶实矩阵。
公式：T_1^{-1} A T_1 = \begin{pmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}
提示：注意 $\xi_i^T \xi_1 = 0$ 是因为正交性。
步骤 6/8
目标：应用归纳假设于A1
由于 $T_1^{-1} A T_1$ 与 $A$ 相似，特征值相同，故 $A_1$ 的特征值均为实数。由归纳假设，存在 $n-1$ 阶正交矩阵 $Q$，使得 $Q^{-1} A_1 Q$ 为上三角矩阵。
公式：Q^{-1} A_1 Q \text{ 为上三角矩阵}
提示：归纳假设要求矩阵是实矩阵且特征值为实数，$A_1$ 满足条件。
步骤 7/8
目标：构造最终正交矩阵T
令 $T = T_1 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q \end{pmatrix}$，则 $T$ 是正交矩阵（因为两个正交矩阵的乘积仍正交）。计算
\[ T^{-1} A T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q^{-1} \end{pmatrix} T_1^{-1} A T_1 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & Q^{-1} A_1 Q \end{pmatrix}, \]
此为上三角矩阵。
公式：T = T_1 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q \end{pmatrix}, \quad T^{-1} A T = \begin{pmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & Q^{-1} A_1 Q \end{pmatrix}
提示：注意分块矩阵乘法，左上角 $\lambda_1$ 不变。
步骤 8/8
目标：归纳完成
由数学归纳法，对任意 $n$ 阶实矩阵 $A$，若其特征值均为实数，则存在正交矩阵 $T$ 使得 $T^{-1} A T$ 为上三角矩阵。
提示：归纳法需明确结论对任意n成立。
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