天津大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．称 $\displaystyle f \in \mathbb{R}\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]$ 为反对称多项式，如果对 $\displaystyle [1,2, \cdots, n]$ 的任意置换 $\displaystyle \sigma$ ，均有
$$
f\left(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \cdots, x_{\sigma(n)}\right)=\varepsilon_{\sigma} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)
$$
其中 $\displaystyle \varepsilon_{\sigma}$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的符号。令 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 为反对称多项式．证明：
（1）对任意的 $\displaystyle i \neq j$ ，有 $\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right) \mid f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ ．
（2）$\displaystyle \Delta=\prod_{1 \leq i<j \leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right)$ 为反对称多项式．
（3）存在对称多项式 $g$ ，使得 $\displaystyle f=g \Delta$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明 (x_i - x_j) 整除 f
对任意 $i \neq j$，考虑对换 $\sigma$ 交换 $i$ 和 $j$，则 $\varepsilon_\sigma = -1$。由反对称性：$f(\ldots, x_j, \ldots, x_i, \ldots) = -f(\ldots, x_i, \ldots, x_j, \ldots)$。令 $x_i = x_j$，得 $f(\ldots, x_i, \ldots, x_i, \ldots) = -f(\ldots, x_i, \ldots, x_i, \ldots)$，故 $f = 0$。因此 $x_i - x_j$ 是 $f$ 的因子。
公式：$f(\ldots, x_j, \ldots, x_i, \ldots) = -f(\ldots, x_i, \ldots, x_j, \ldots)$
提示：注意代入 $x_i = x_j$ 后，左右两边相等，得到 $f = -f$，从而 $f=0$，这仅说明在 $x_i = x_j$ 时 $f$ 为零，但由多项式性质可推出整除。
步骤 2/3
目标：证明 Δ 是反对称多项式
对任意置换 $\sigma$，计算 $\Delta(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)}) = \prod_{i
公式：$\Delta(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)}) = \varepsilon_\sigma \Delta(x_1, \ldots, x_n)$
提示：注意 $\Delta$ 的定义中乘积遍及所有 $i
步骤 3/3
目标：证明存在对称多项式 g 使得 f = g Δ
由 (1) 知 $f$ 可被所有 $x_i - x_j$ 整除，而 $\Delta$ 是这些线性因子的乘积（在 $\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n]$ 中唯一分解）。由于 $f$ 和 $\Delta$ 都是反对称多项式，商 $g = f/\Delta$ 在任意置换下不变：$g(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)}) = \frac{f(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)})}{\Delta(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)})} = \frac{\varepsilon_\sigma f}{\varepsilon_\sigma \Delta} = g(x_1, \ldots, x_n)$，故 $g$ 是对称多项式。
公式：$g = f/\Delta$
提示：需要确保 $\Delta$ 非零，但作为多项式，除法在多项式环中不一定成立，这里实际上是在多项式环中考虑整除性，即 $\Delta$ 整除 $f$，商是多项式。
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