天津大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．已知 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶方阵，证明：
（1）$\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right|=|A+B||A-B|$ ．
（2）$\displaystyle \left|\begin{array}{llll}A & B & C & D \\ B & A & D & C \\ C & D & A & B \\ D & C & B & A\end{array}\right|=|A+B+C+D\|A+B-C-D\| A-B+C-D \| A-B-C+D|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造分块矩阵并引入变换矩阵
对于（1），考虑矩阵 $M = \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix}$。引入矩阵 $P = \begin{pmatrix} I & I \\ I & -I \end{pmatrix}$，其中 $I$ 为 $n$ 阶单位阵。计算 $P$ 的行列式：$|P| = \left|\begin{matrix} I & I \\ I & -I \end{matrix}\right| = (-2)^n \neq 0$，故 $P$ 可逆。
公式：$P = \begin{pmatrix} I & I \\ I & -I \end{pmatrix}$
提示：注意 $P$ 的分块形式，确保 $I$ 是 $n$ 阶单位阵。
步骤 2/6
目标：计算相似变换后的矩阵
计算 $P M P^{-1}$。由于 $P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} I & I \\ I & -I \end{pmatrix}$，直接计算可得：
$$P M P^{-1} = \begin{pmatrix} A+B & 0 \\ 0 & A-B \end{pmatrix}.$$
详细推导：先计算 $P M = \begin{pmatrix} A+B & B+A \\ A-B & B-A \end{pmatrix}$，再右乘 $P^{-1}$ 得到对角块。
公式：$P M P^{-1} = \begin{pmatrix} A+B & 0 \\ 0 & A-B \end{pmatrix}$
提示：注意矩阵乘法顺序，确保分块乘法正确。
步骤 3/6
目标：利用行列式性质得到结论
由相似变换不改变行列式，有 $|M| = |P^{-1}| \cdot |P M P^{-1}| \cdot |P| = |P M P^{-1}|$。而 $|P M P^{-1}| = |A+B| \cdot |A-B|$，因为对角块矩阵的行列式等于各块行列式之积。因此 $\left|\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right| = |A+B||A-B|$。
公式：$|M| = |A+B||A-B|$
提示：注意 $|P|$ 和 $|P^{-1}|$ 互为倒数，乘积为1。
步骤 4/6
目标：构造四阶分块矩阵的变换矩阵
对于（2），考虑矩阵 $N = \begin{pmatrix} A & B & C & D \\ B & A & D & C \\ C & D & A & B \\ D & C & B & A \end{pmatrix}$。引入矩阵 $Q = \begin{pmatrix} I & I & I & I \\ I & I & -I & -I \\ I & -I & I & -I \\ I & -I & -I & I \end{pmatrix}$，其逆为 $Q^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} I & I & I & I \\ I & I & -I & -I \\ I & -I & I & -I \\ I & -I & -I & I \end{pmatrix}$。
公式：$Q = \begin{pmatrix} I & I & I & I \\ I & I & -I & -I \\ I & -I & I & -I \\ I & -I & -I & I \end{pmatrix}$
提示：注意 $Q$ 的每一行对应一个特征向量，确保分块正确。
步骤 5/6
目标：计算相似变换后的对角矩阵
计算 $Q N Q^{-1}$，得到对角块矩阵：
$$Q N Q^{-1} = \begin{pmatrix} A+B+C+D & 0 & 0 & 0 \\ 0 & A+B-C-D & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A-B+C-D & 0 \\ 0 & 0 & 0 & A-B-C+D \end{pmatrix}.$$
推导过程：利用分块乘法，每个对角块对应 $Q$ 的行与 $N$ 的列组合。
公式：$Q N Q^{-1} = \operatorname{diag}(A+B+C+D, A+B-C-D, A-B+C-D, A-B-C+D)$
提示：注意计算时保持分块矩阵的乘法规则，避免符号错误。
步骤 6/6
目标：利用行列式性质得到结论
由于相似变换不改变行列式，$|N| = |Q N Q^{-1}|$。而对角块矩阵的行列式等于各块行列式之积，因此
$$\left|\begin{array}{llll}A & B & C & D \\ B & A & D & C \\ C & D & A & B \\ D & C & B & A\end{array}\right| = |A+B+C+D| \cdot |A+B-C-D| \cdot |A-B+C-D| \cdot |A-B-C+D|.$$
公式：$|N| = \prod |\cdot|$
提示：注意 $|Q|$ 为非零常数，不影响结果。
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