天津大学 2026年高等代数第3题
📝 题目
3．设 $\displaystyle \mathbb{Q}[A]=\{f(A) \mid f(x) \in \mathbb{Q}[x]\}$ ，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & \sqrt{2} \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ，证明： $\displaystyle \mathbb{Q}[A]$ 中的非零矩阵均为可逆矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算矩阵A的特征多项式
设 $A = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，计算特征多项式 $\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda & -\sqrt{2} \\ -1 & \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 - \sqrt{2}$。
公式：$\det(\lambda I - A) = \lambda^2 - \sqrt{2}$
提示：注意矩阵元素的位置，不要混淆。
步骤 2/6
目标：确定特征值
由特征多项式 $\lambda^2 - \sqrt{2} = 0$ 得特征值为 $\lambda = \pm \sqrt[4]{2}$。这两个特征值均为非零复数。
公式：$\lambda = \pm \sqrt[4]{2}$
提示：注意 $\sqrt[4]{2}$ 是 $2$ 的四次方根，不是平方根。
步骤 3/6
目标：分析Q[A]中矩阵的可逆性条件
$\mathbb{Q}[A]$ 中的任意矩阵 $B = f(A)$，其中 $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$。$B$ 可逆当且仅当 $\det(B) \neq 0$。由于 $A$ 可对角化（特征值互异），$\det(B) = f(\sqrt[4]{2}) f(-\sqrt[4]{2})$。因此 $B$ 不可逆当且仅当 $f(\sqrt[4]{2}) = 0$ 或 $f(-\sqrt[4]{2}) = 0$。
公式：$\det(f(A)) = f(\lambda_1) f(\lambda_2)$
提示：这里利用了特征值的性质，注意 $A$ 可对角化。
步骤 4/6
目标：利用极小多项式导出矛盾
若 $B$ 非零但不可逆，则 $f(\sqrt[4]{2}) = 0$ 或 $f(-\sqrt[4]{2}) = 0$。由于 $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$，且 $\sqrt[4]{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式为 $x^4 - 2$，因此 $f(x)$ 能被 $x^4 - 2$ 整除。
公式：$\sqrt[4]{2}$ 的极小多项式为 $x^4 - 2$
提示：注意 $\sqrt[4]{2}$ 不是 $\mathbb{Q}$ 上的代数元，其极小多项式次数为4。
步骤 5/6
目标：计算A的幂次关系
直接计算 $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix} = \sqrt{2} I$，从而 $A^4 = (\sqrt{2} I)^2 = 2I$。
公式：$A^2 = \sqrt{2} I$，$A^4 = 2I$
提示：注意矩阵乘法顺序，$A^2$ 是对角矩阵。
步骤 6/6
目标：推出矛盾并完成证明
由 $f(x)$ 能被 $x^4 - 2$ 整除，设 $f(x) = (x^4 - 2) g(x)$，则 $f(A) = (A^4 - 2I) g(A) = 0 \cdot g(A) = 0$，即 $B = 0$，与 $B$ 非零矛盾。因此 $\mathbb{Q}[A]$ 中的非零矩阵均可逆。
公式：$f(A) = (A^4 - 2I) g(A) = 0$
提示：注意 $A^4 - 2I = 0$，所以任何含因子 $x^4-2$ 的多项式在 $A$ 处为零。
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