天津大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
4．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 是 $n$ 个向量，若 $V$ 中任一向量均可由 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 线性表出，证明：$\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 是 $V$ 的一组基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确要证明的目标
已知 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$e_1, e_2, \cdots, e_n$ 是 $V$ 中的 $n$ 个向量，且 $V$ 中任一向量均可由它们线性表出。要证明 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 是 $V$ 的一组基，只需证明它们线性无关（因为生成性已由条件保证）。
提示：注意：基的定义包含线性无关和生成性两个条件，这里生成性已给出，只需证线性无关。
步骤 2/5
目标：反证法假设线性相关
假设 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 线性相关，则存在不全为零的系数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$，使得 $k_1 e_1 + k_2 e_2 + \cdots + k_n e_n = 0$。
公式：线性相关定义：存在不全为零的系数使线性组合为零。
提示：注意系数不全为零，但可以有一个或多个为零。
步骤 3/5
目标：导出某个向量可由其余向量线性表出
不妨设 $k_1 \neq 0$（因为系数不全为零，总有一个非零），则 $e_1 = -\frac{k_2}{k_1} e_2 - \cdots - \frac{k_n}{k_1} e_n$，即 $e_1$ 可由 $e_2, \cdots, e_n$ 线性表出。
公式：移项得 $e_1 = -\frac{k_2}{k_1} e_2 - \cdots - \frac{k_n}{k_1} e_n$。
提示：注意分母 $k_1 \neq 0$，否则无法除。
步骤 4/5
目标：推出矛盾：生成元个数少于维数
由于任意向量 $\alpha \in V$ 可由 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 线性表出，而 $e_1$ 又可由 $e_2, \cdots, e_n$ 线性表出，代入后可知 $\alpha$ 可由 $e_2, \cdots, e_n$ 线性表出。因此 $e_2, \cdots, e_n$ 生成 $V$，即 $V$ 可由 $n-1$ 个向量生成。但 $V$ 是 $n$ 维的，根据维数定理，生成元个数至少为 $n$，矛盾。
公式：维数定理：若 $V$ 是 $n$ 维线性空间，则任何生成 $V$ 的向量组所含向量个数至少为 $n$。
提示：注意：维数定理是线性代数中的重要结论，常用于证明基的存在性。
步骤 5/5
目标：结论：线性无关，从而是一组基
假设导致矛盾，故 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 线性无关。又因为它们生成 $V$，所以是 $V$ 的一组基。
提示：注意：基的判定需同时满足线性无关和生成性。
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