天津大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5．化下列实二次型为标准形：$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=n \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f = n\sum_{i=1}^n x_i^2 - (\sum_{i=1}^n x_i)^2$ 可展开为 $f = n\sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2\sum_{1\le i
公式：$f = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j$
提示：注意交叉项系数要除以2得到矩阵元素，因为 $x_i x_j$ 项系数为 $2a_{ij}$。
步骤 2/5
目标：求特征多项式
计算 $|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda - (n-1) & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \lambda - (n-1) & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & \lambda - (n-1) \end{vmatrix}$。将第2至第n列加到第1列，得 $\begin{vmatrix} \lambda & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda & \lambda - (n-1) & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda & 1 & \cdots & \lambda - (n-1) \end{vmatrix}$。
公式：行列式性质：列加法
提示：注意符号变化：$\lambda I - A$ 的非对角元是1，不是-1。
步骤 3/5
目标：提取公因子并化简
提取第1列的 $\lambda$，得 $\lambda \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \lambda - (n-1) & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & \lambda - (n-1) \end{vmatrix}$。将第1行乘以-1加到其余各行，得 $\lambda \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & \lambda - n & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda - n \end{vmatrix} = \lambda (\lambda - n)^{n-1}$。
公式：行变换：$R_i - R_1$
提示：注意第2行第2列元素：$\lambda - (n-1) - 1 = \lambda - n$。
步骤 4/5
目标：得到特征值
特征多项式为 $\lambda (\lambda - n)^{n-1}=0$，所以特征值为 $\lambda_1 = n$（单重），$\lambda_2 = 0$（$n-1$重）。
提示：特征值0的重数为 $n-1$，说明二次型是半正定的。
步骤 5/5
目标：写出标准形
由于矩阵 $A$ 是实对称矩阵，存在正交变换 $x = Qy$ 使得二次型化为标准形 $f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2 = n y_1^2 + 0 \cdot y_2^2 + \cdots + 0 \cdot y_n^2 = n y_1^2$。
公式：正交变换下二次型标准形：$f = \sum \lambda_i y_i^2$
提示：标准形中非零特征值的个数等于二次型的秩，这里秩为1。
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