天津大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle V^{*}$ 是 $V$ 的对偶空间，若 $\displaystyle W \subset V^{*}$ 是 $r$ 维子空间，证明：
$$
W^{\perp}=\{v \in V \mid l(v)=0, \forall l \in W\} \subset V
$$
是 $\displaystyle n-r$ 维线性子空间．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：定义子空间并验证封闭性
定义 $W^\perp = \{ v \in V \mid l(v)=0, \forall l \in W \}$。对任意 $v_1, v_2 \in W^\perp$ 和标量 $\lambda \in \mathbb{F}$，以及任意 $l \in W$，有 $l(v_1+v_2)=l(v_1)+l(v_2)=0$，$l(\lambda v_1)=\lambda l(v_1)=0$，所以 $v_1+v_2, \lambda v_1 \in W^\perp$。因此 $W^\perp$ 是 $V$ 的子空间。
提示：验证子空间需检查加法封闭和数乘封闭，注意零向量自动满足条件。
步骤 2/7
目标：引入对偶基
取 $V$ 的一组基 $\{e_1,\dots,e_n\}$，其对偶基为 $\{f_1,\dots,f_n\}$，满足 $f_i(e_j)=\delta_{ij}$。则 $V^*$ 中任意线性泛函可表示为 $l = \sum_{i=1}^n a_i f_i$。
公式：f_i(e_j)=\delta_{ij}
提示：对偶基的定义是每个 $f_i$ 作用在 $e_j$ 上得到克罗内克δ。
步骤 3/7
目标：将W的基表示为对偶基的线性组合
设 $W$ 是 $r$ 维子空间，取 $W$ 的一组基 $\{l_1,\dots,l_r\}$，每个 $l_j = \sum_{i=1}^n a_{ji} f_i$，其中 $a_{ji} \in \mathbb{F}$。
公式：l_j = \sum_{i=1}^n a_{ji} f_i
提示：注意 $l_j$ 是线性泛函，系数 $a_{ji}$ 构成 $r \times n$ 矩阵。
步骤 4/7
目标：将W⊥的条件转化为齐次线性方程组
设 $v = \sum_{i=1}^n x_i e_i \in V$，则 $v \in W^\perp$ 当且仅当 $l_j(v)=0$ 对所有 $j=1,\dots,r$。计算 $l_j(v) = \sum_{i=1}^n a_{ji} x_i = 0$，得到齐次线性方程组 $\sum_{i=1}^n a_{ji} x_i = 0,\ j=1,\dots,r$。
公式：\sum_{i=1}^n a_{ji} x_i = 0
提示：注意 $l_j(v)$ 的计算：$f_i(v)=x_i$，所以 $l_j(v)=\sum_i a_{ji} x_i$。
步骤 5/7
目标：确定系数矩阵的秩
由于 $l_1,\dots,l_r$ 线性无关，系数矩阵 $A=(a_{ji})$ 的秩为 $r$。这是因为 $l_j$ 的坐标向量（在 $\{f_i\}$ 下）是矩阵的行向量，线性无关等价于行秩为 $r$。
公式：\operatorname{rank}(A)=r
提示：行秩等于列秩，但这里行向量线性无关，所以秩为r。
步骤 6/7
目标：计算解空间维数
齐次线性方程组的解空间维数为 $n - \operatorname{rank}(A) = n-r$。而解空间正是 $W^\perp$，故 $\dim W^\perp = n-r$。
公式：\dim W^\perp = n - \operatorname{rank}(A) = n-r
提示：解空间维数公式：未知数个数减去系数矩阵的秩。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，$W^\perp$ 是 $V$ 的 $n-r$ 维线性子空间。
提示：注意 $W^\perp$ 是 $V$ 的子空间，而不是 $V^*$ 的子空间。
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