天津大学 2026年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle T: V \rightarrow V$ 是实数域 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性算子，且 $\displaystyle T^{3}=T$ ，其中 $\displaystyle n>1$ ．
（1）证明：存在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $T$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵。
（2）如果存在一个 $n$ 阶实方阵 $A$ ，使得 $T$ 在 $V$ 的任意一组基下的矩阵均为 $A$ ，证明：$A$ 为 $\displaystyle E_{n},-E_{n}$ 或零矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析算子满足的多项式关系
由条件 $T^3 = T$，移项得 $T^3 - T = 0$，即 $T(T^2 - I) = 0$。因此 $T$ 满足多项式 $x(x^2-1) = x(x-1)(x+1)$。
公式：T^3 - T = 0
提示：注意将 $T^3 = T$ 转化为多项式等于零的形式。
步骤 2/8
目标：确定最小多项式无重根
由于 $T$ 满足多项式 $x(x-1)(x+1)$，且该多项式在实数域上分解为互不相同的一次因式之积，因此 $T$ 的最小多项式 $m_T(x)$ 整除 $x(x-1)(x+1)$，从而 $m_T(x)$ 无重根。
公式：m_T(x) \mid x(x-1)(x+1)
提示：最小多项式无重根是线性算子可对角化的充要条件。
步骤 3/8
目标：得出可对角化结论
根据线性代数理论，线性算子可对角化当且仅当其最小多项式无重根。因此 $T$ 可对角化，即存在 $V$ 的一组基，使得 $T$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。
提示：注意：可对角化意味着存在一组基使矩阵为对角阵，但基不一定正交。
步骤 4/8
目标：分析第二问条件：矩阵在任意基下相同
由题意，$T$ 在任意一组基下的矩阵均为 $A$。设 $P$ 为任意可逆矩阵，则基变换后 $T$ 的矩阵变为 $P^{-1}AP$，但必须等于 $A$，因此 $P^{-1}AP = A$ 对所有可逆 $P$ 成立。
公式：P^{-1}AP = A \quad \forall \text{可逆 } P
提示：注意：任意基包括所有可能的基变换。
步骤 5/8
目标：推导矩阵与所有可逆矩阵可交换
由 $P^{-1}AP = A$ 两边左乘 $P$ 得 $AP = PA$，即 $A$ 与任意可逆矩阵 $P$ 可交换。特别地，取 $P$ 为初等矩阵，可推出 $A$ 与所有矩阵可交换（因为任意矩阵可表示为初等矩阵的乘积）。
公式：AP = PA
提示：与所有可逆矩阵可交换的矩阵必为标量矩阵。
步骤 6/8
目标：得出A为标量矩阵
由于 $A$ 与所有矩阵可交换，$A$ 必为标量矩阵，即 $A = \lambda I_n$，其中 $\lambda \in \mathbb{R}$。
公式：A = \lambda I_n
提示：标量矩阵即数量矩阵，对角线上元素相同。
步骤 7/8
目标：利用算子条件确定λ的值
由 $T^3 = T$ 得 $A^3 = A$，代入 $A = \lambda I_n$ 得 $(\lambda I_n)^3 = \lambda I_n$，即 $\lambda^3 I_n = \lambda I_n$，所以 $\lambda^3 = \lambda$，解得 $\lambda = 0, 1, -1$。
公式：\lambda^3 = \lambda
提示：注意：$\lambda$ 是实数，解为 $0, \pm 1$。
步骤 8/8
目标：总结A的可能形式
因此 $A$ 只能是 $E_n$（当 $\lambda=1$）、$-E_n$（当 $\lambda=-1$）或零矩阵（当 $\lambda=0$）。
提示：注意：$E_n$ 是单位矩阵。
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