天津大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $n$ 阶复矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，其中 $\displaystyle n>1$ ．
（1）设 $B$ 为一个 $n$ 阶复方阵，且 $B$ 与 $A$ 有完全相同的特征多项式．证明：存在两个复方阵 $\displaystyle P, Q$ ，使得 $\displaystyle A=P Q$ 且 $\displaystyle B=Q P$ ．
（2）$C$ 为 $n$ 阶复方阵，且 $\displaystyle A C=C A, C^{n}=O$ ，求矩阵 $C$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析条件并确定A可对角化
已知$A$有$n$个不同的特征值，因此$A$可对角化。存在可逆矩阵$S$使得$A = S \Lambda S^{-1}$，其中$\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，且$\lambda_i$互不相同。
公式：A = S \Lambda S^{-1}
提示：注意：特征值互异是矩阵可对角化的充分条件。
步骤 2/7
目标：分析B的特征值并确定B可对角化
由于$B$与$A$有相同的特征多项式，故$B$的特征值也是$\lambda_1, \dots, \lambda_n$。因为特征值互异，$B$的Jordan标准形是对角矩阵，所以$B$也可对角化。存在可逆矩阵$T$使得$B = T \Lambda T^{-1}$。
公式：B = T \Lambda T^{-1}
提示：特征值互异保证了矩阵可对角化，即使B不一定与A相似，但可对角化到同一个对角矩阵。
步骤 3/7
目标：构造P和Q并验证等式
令$P = S \Lambda S^{-1} T$，$Q = T^{-1} S$。则$PQ = S \Lambda S^{-1} T \cdot T^{-1} S = S \Lambda S^{-1} = A$，$QP = T^{-1} S \cdot S \Lambda S^{-1} T = T^{-1} \Lambda T = B$。因此存在这样的$P, Q$。
公式：P = S \Lambda S^{-1} T, Q = T^{-1} S
提示：注意矩阵乘法顺序，确保$PQ$和$QP$分别等于$A$和$B$。
步骤 4/7
目标：利用可交换条件化简
由$AC = CA$，代入$A = S \Lambda S^{-1}$得$S \Lambda S^{-1} C = C S \Lambda S^{-1}$。左乘$S^{-1}$，右乘$S$得$\Lambda (S^{-1} C S) = (S^{-1} C S) \Lambda$。令$D = S^{-1} C S$，则$\Lambda D = D \Lambda$。
公式：\Lambda D = D \Lambda
提示：可交换条件转化为对角矩阵与未知矩阵的交换。
步骤 5/7
目标：确定D的形式
由于$\Lambda$是对角矩阵且对角线元素互不相同，与$\Lambda$可交换的矩阵必为对角矩阵。因此$D$是对角矩阵，设$D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$。
提示：对角矩阵与对角矩阵可交换当且仅当它们都是对角矩阵，但这里需要利用特征值互异证明。
步骤 6/7
目标：利用幂零条件求解D
由$C^n = O$得$D^n = O$，即$\operatorname{diag}(d_1^n, \dots, d_n^n) = O$，所以$d_i^n = 0$，从而$d_i = 0$对所有$i$。因此$D = O$，进而$C = S D S^{-1} = O$。
公式：D^n = O
提示：注意：复数域中，$d_i^n=0$意味着$d_i=0$。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，满足条件的矩阵$C$只能是零矩阵。
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