天津大学 2026年高等代数第9题
📝 题目
9．设 $\displaystyle T: V \rightarrow V$ 是欧氏空间上的一个正规算子．
（1）证明：$T$ 的伴随算子的核空间与 $T$ 的核空间相等．
（2）若 $\displaystyle T^{2}=T$ ，则 $T$ 必为对称算子．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明 ker T ⊆ ker T*
任取 $x \in \ker T$，则 $Tx = 0$。计算 $\|T^*x\|^2 = \langle T^*x, T^*x \rangle = \langle x, TT^*x \rangle = \langle x, T^*Tx \rangle = \langle Tx, Tx \rangle = 0$，故 $T^*x = 0$，即 $x \in \ker T^*$。
公式：$\|T^*x\|^2 = \langle T^*x, T^*x \rangle = \langle x, TT^*x \rangle$
提示：注意利用正规性 $TT^* = T^*T$ 进行替换。
步骤 2/7
目标：证明 ker T* ⊆ ker T
任取 $x \in \ker T^*$，则 $T^*x = 0$。计算 $\|Tx\|^2 = \langle Tx, Tx \rangle = \langle x, T^*Tx \rangle = \langle x, TT^*x \rangle = \langle T^*x, T^*x \rangle = 0$，故 $Tx = 0$，即 $x \in \ker T$。
公式：$\|Tx\|^2 = \langle Tx, Tx \rangle = \langle x, T^*Tx \rangle$
提示：与第一步对称，注意内积的共轭线性性在实空间下可忽略。
步骤 3/7
目标：结论：ker T = ker T*
由前两步得 $\ker T \subseteq \ker T^*$ 且 $\ker T^* \subseteq \ker T$，故 $\ker T = \ker T^*$。
提示：注意集合相等需双向包含。
步骤 4/7
目标：由 T^2 = T 推出 T 是投影算子
已知 $T^2 = T$，则对任意 $x \in V$，有 $T(Tx) = Tx$，即 $Tx$ 是 $T$ 的不动点，故 $\operatorname{Im} T = \{ v \in V \mid Tv = v \}$。
公式：$T^2 = T$
提示：投影算子的定义：$T^2 = T$。
步骤 5/7
目标：利用正规性证明 Im T 与 ker T 正交
由 (1) 知 $\ker T = \ker T^*$。对任意 $u \in V$ 和 $v \in \ker T^*$，有 $\langle Tu, v \rangle = \langle u, T^*v \rangle = \langle u, 0 \rangle = 0$，故 $\operatorname{Im} T \perp \ker T$。
公式：$\langle Tu, v \rangle = \langle u, T^*v \rangle$
提示：注意 $\ker T^*$ 与 $\operatorname{Im} T$ 正交是伴随算子的基本性质。
步骤 6/7
目标：证明 T 是正交投影算子
对任意 $x \in V$，分解 $x = y + z$，其中 $y \in \operatorname{Im} T$，$z \in \ker T$。由正交性，$Tx = T(y+z) = Ty + Tz = y + 0 = y$，即 $Tx$ 是 $x$ 在 $\operatorname{Im} T$ 上的正交投影，故 $T$ 是正交投影算子。
公式：$Tx = y$
提示：正交投影算子必为对称算子。
步骤 7/7
目标：结论：T 是对称算子
正交投影算子满足 $T^* = T$，故 $T$ 是对称算子。
公式：$T^* = T$
提示：对称算子即自伴算子。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。