安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $f(x)=x^{3}+(t+1) x^{2}+2 x-4$ 与 $g(x)=x^{3}+t x^{2}-2$ 的最大公因式为一个二次多项式，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算f(x)与g(x)的差
计算 $f(x) - g(x) = (x^3 + (t+1)x^2 + 2x - 4) - (x^3 + t x^2 - 2) = x^2 + 2x - 2$，记为 $r_1(x) = x^2 + 2x - 2$。
提示：注意符号，减的时候要逐项相减。
步骤 2/4
目标：用g(x)除以r_1(x)求余式
用 $g(x)$ 除以 $r_1(x)$，设商为 $x + (t-2)$，则余式 $r_2(x) = g(x) - (x + (t-2)) r_1(x)$。计算 $(x + (t-2)) r_1(x) = (x + (t-2))(x^2 + 2x - 2) = x^3 + t x^2 + (2t-6)x - 2t + 4$。于是 $r_2(x) = (x^3 + t x^2 - 2) - [x^3 + t x^2 + (2t-6)x - 2t + 4] = -(2t-6)x + 2t - 6 = 2(t-3)(1-x)$。
提示：多项式除法要仔细，避免计算错误。
步骤 3/4
目标：利用最大公因式为二次的条件
由于最大公因式为二次多项式，而 $r_1(x)$ 是二次多项式，且 $r_1(x)$ 是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的线性组合，因此 $r_1(x)$ 应为公因式。从而 $r_2(x)$ 必须为零多项式，即 $2(t-3)(1-x) = 0$ 对所有 $x$ 成立，故 $t-3=0$，解得 $t=3$。
提示：注意：若余式非零，则最大公因式次数会降低，与条件矛盾。
步骤 4/4
目标：验证t=3时条件成立
当 $t=3$ 时，$f(x)=x^3+4x^2+2x-4$，$g(x)=x^3+3x^2-2$。计算 $f(x)-g(x)=x^2+2x-2$。因式分解：$g(x)=x^3+3x^2-2=(x+1)(x^2+2x-2)$，$f(x)=x^3+4x^2+2x-4=(x+2)(x^2+2x-2)$。故最大公因式为 $x^2+2x-2$，是二次多项式，符合条件。
提示：验证时注意因式分解的正确性。
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