安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $A, B$ 都为可逆方阵，则 $\left(\begin{array}{ll}A & C \\ O & B\end{array}\right)^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设逆矩阵并建立方程
设 $M = \begin{pmatrix} A & C \\ O & B \end{pmatrix}$，其中 $A$ 和 $B$ 可逆。设 $M^{-1} = \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix}$，则 $M M^{-1} = I$，即
\[
\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & O \\ O & I \end{pmatrix}.
\]
提示：注意矩阵乘法顺序，左乘M，右乘M^{-1}。
步骤 2/7
目标：计算矩阵乘积
计算乘积得：
\[
\begin{pmatrix} AX + CZ & AY + CW \\ BZ & BW \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & O \\ O & I \end{pmatrix}.
\]
提示：分块矩阵乘法：左上块为第一行乘第一列，右上块为第一行乘第二列，左下块为第二行乘第一列，右下块为第二行乘第二列。
步骤 3/7
目标：列出方程组
由矩阵相等得到方程组：
\[
\begin{cases}
AX + CZ = I, \\
AY + CW = O, \\
BZ = O, \\
BW = I.
\end{cases}
\]
提示：注意零矩阵O和单位矩阵I的维度。
步骤 4/7
目标：求解Z和W
由 $B$ 可逆，$BZ = O$ 左乘 $B^{-1}$ 得 $Z = O$。由 $BW = I$ 左乘 $B^{-1}$ 得 $W = B^{-1}$。
公式：若 $B$ 可逆，则 $BZ=O \Rightarrow Z=O$；$BW=I \Rightarrow W=B^{-1}$。
提示：注意左乘逆矩阵的顺序。
步骤 5/7
目标：求解X
将 $Z=O$ 代入第一个方程 $AX + CZ = I$，得 $AX = I$，左乘 $A^{-1}$ 得 $X = A^{-1}$。
公式：$AX=I \Rightarrow X=A^{-1}$。
提示：确保A可逆。
步骤 6/7
目标：求解Y
将 $W=B^{-1}$ 代入第二个方程 $AY + CW = O$，得 $AY + C B^{-1} = O$，移项得 $AY = -C B^{-1}$，左乘 $A^{-1}$ 得 $Y = -A^{-1} C B^{-1}$。
公式：$AY = -C B^{-1} \Rightarrow Y = -A^{-1} C B^{-1}$。
提示：注意负号的位置，以及矩阵乘法的顺序不可交换。
步骤 7/7
目标：写出逆矩阵
因此
\[
M^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1} C B^{-1} \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}.
\]
提示：最终结果中左下块为零矩阵。
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