安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $A$ 是三阶矩阵，已知 $|A+I|=0,|A+2 I|=0,|A+3 I|=0$ ，则 $|A+4 I|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由已知条件推断特征值
已知 $|A+I|=0$，$|A+2I|=0$，$|A+3I|=0$。对于矩阵 $A$，若 $|A+\lambda I|=0$，则 $-\lambda$ 是 $A$ 的特征值。因此，$-1$，$-2$，$-3$ 是 $A$ 的特征值。由于 $A$ 是三阶矩阵，特征值恰好为 $-1, -2, -3$。
公式：若 $|A+\lambda I|=0$，则 $-\lambda$ 是 $A$ 的特征值。
提示：注意特征值与行列式为零的关系：$|A-\mu I|=0$ 时 $\mu$ 是特征值，这里 $A+\lambda I = A-(-\lambda)I$，所以 $-\lambda$ 是特征值。
步骤 2/5
目标：确定A的特征值
由第一步，$A$ 的特征值为 $-1, -2, -3$。因为 $A$ 是三阶矩阵，特征值恰好三个（包括重根），这里互异。
提示：注意矩阵阶数与特征值个数一致，本题三阶有三个特征值。
步骤 3/5
目标：计算A+4I的特征值
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda+4$ 是 $A+4I$ 的特征值。因此 $A+4I$ 的特征值为 $(-1)+4=3$，$(-2)+4=2$，$(-3)+4=1$。
公式：若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda+c$ 是 $A+cI$ 的特征值。
提示：注意是特征值加常数，不是矩阵加常数。
步骤 4/5
目标：计算行列式
矩阵的行列式等于其特征值的乘积。因此 $|A+4I| = 3 \times 2 \times 1 = 6$。
公式：$|B| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$，其中 $\lambda_i$ 是 $B$ 的特征值。
提示：行列式等于特征值乘积，注意符号：特征值乘积即为行列式。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
所以 $|A+4I| = 6$。
提示：检查计算是否正确。
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