安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，满足等式 $A^{2}=2025 A+2026 I$ ，其中 $I$ 为 $n$ 阶单位矩阵．则有秩 $(A-2026 I)+$秩 $(A+I)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简已知条件
由 $A^2 = 2025A + 2026I$ 移项得 $A^2 - 2025A - 2026I = 0$，因式分解为 $(A - 2026I)(A + I) = 0$。
公式：$(A - 2026I)(A + I) = 0$
提示：注意矩阵乘法顺序，但这里因式分解与标量类似，因为矩阵与单位矩阵可交换。
步骤 2/6
目标：分析特征值
设 $f(x) = (x-2026)(x+1)$，则 $f(A)=0$，所以 $A$ 的最小多项式整除 $f(x)$，从而 $A$ 的特征值只能是 $2026$ 或 $-1$。
公式：$f(A)=0 \Rightarrow \sigma(A) \subseteq \{2026, -1\}$
提示：最小多项式整除零化多项式，特征值必为零化多项式的根。
步骤 3/6
目标：定义矩阵并应用秩不等式
令 $B = A - 2026I$，$C = A + I$，则 $BC = 0$。由秩不等式：$\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) \leq n$。
公式：$\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) \leq n$
提示：当 $BC=0$ 时，$\operatorname{rank}(B)+\operatorname{rank}(C) \leq n$ 是常见结论，可由 $C$ 的列空间包含于 $B$ 的零空间得到。
步骤 4/6
目标：应用Sylvester秩不等式
由Sylvester秩不等式：$\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) \geq \operatorname{rank}(B+C) + \operatorname{rank}(BC)$。因为 $BC=0$，所以 $\operatorname{rank}(BC)=0$。而 $B+C = (A-2026I)+(A+I) = 2A - 2025I$。
公式：$\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) \geq \operatorname{rank}(B+C)$
提示：Sylvester不等式：$\operatorname{rank}(X)+\operatorname{rank}(Y) \leq \operatorname{rank}(XY)+n$，但这里用的是其等价形式 $\operatorname{rank}(X)+\operatorname{rank}(Y) \geq \operatorname{rank}(X+Y)+\operatorname{rank}(XY)$，注意方向。
步骤 5/6
目标：证明矩阵可逆
由于 $A$ 的特征值为 $2026$ 或 $-1$，则 $2A - 2025I$ 的特征值为 $2\cdot2026 - 2025 = 2027$ 或 $2\cdot(-1) - 2025 = -2027$，均非零，故 $2A - 2025I$ 可逆，秩为 $n$。因此 $\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) \geq n$。
公式：$\operatorname{rank}(2A-2025I)=n$
提示：矩阵可逆当且仅当所有特征值非零。
步骤 6/6
目标：结合不等式得出等式
由 $\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) \leq n$ 和 $\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) \geq n$，得 $\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) = n$。即 $\operatorname{rank}(A-2026I) + \operatorname{rank}(A+I) = n$。
公式：$\operatorname{rank}(A-2026I) + \operatorname{rank}(A+I) = n$
提示：注意等号成立的条件。
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