安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．已知列向量组 $\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$ 是方阵 $\left(\begin{array}{ccc}-b & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 4\end{array}\right)$ 的特征向量，则 $4 a-3 b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设特征向量与矩阵
设特征向量为 $\boldsymbol{\alpha} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}$，矩阵为 $A = \begin{pmatrix} -b & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}$。由特征向量定义，存在特征值 $\lambda$ 使得 $A\boldsymbol{\alpha} = \lambda \boldsymbol{\alpha}$。
公式：A\boldsymbol{\alpha} = \lambda \boldsymbol{\alpha}
提示：注意特征向量是非零向量，且特征值可能为0。
步骤 2/6
目标：计算Aα
计算 $A\boldsymbol{\alpha}$：
$$
A\boldsymbol{\alpha} = \begin{pmatrix} -b & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3b - 2 + a \\ -6 + 3 + a \\ -9 -1 + 4a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3b + a - 2 \\ a - 3 \\ 4a - 10 \end{pmatrix}.
$$
提示：矩阵乘法时注意符号和顺序，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：建立方程组
由 $A\boldsymbol{\alpha} = \lambda \boldsymbol{\alpha}$ 得：
$$
\begin{pmatrix} 3b + a - 2 \\ a - 3 \\ 4a - 10 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}.
$$
比较分量得方程组：
$$
\begin{cases}
3b + a - 2 = -3\lambda & (1) \\
a - 3 = \lambda & (2) \\
4a - 10 = a\lambda & (3)
\end{cases}
$$
提示：注意每个分量对应相等，不要漏掉或错位。
步骤 4/6
目标：求解a
由(2)得 $\lambda = a - 3$。代入(3)：$4a - 10 = a(a - 3)$，即 $4a - 10 = a^2 - 3a$，整理得 $a^2 - 7a + 10 = 0$，解得 $a = 2$ 或 $a = 5$。
公式：a^2 - 7a + 10 = 0
提示：解二次方程时注意因式分解或求根公式，不要遗漏解。
步骤 5/6
目标：求解b
将 $\lambda = a - 3$ 代入(1)：$3b + a - 2 = -3(a - 3)$，即 $3b + a - 2 = -3a + 9$，整理得 $3b = -4a + 11$，即 $b = \frac{-4a + 11}{3}$。
当 $a=2$ 时，$b = \frac{-8+11}{3} = 1$；当 $a=5$ 时，$b = \frac{-20+11}{3} = -3$。
公式：b = \frac{-4a + 11}{3}
提示：代入时注意符号，计算分数要准确。
步骤 6/6
目标：计算4a-3b
当 $a=2, b=1$ 时，$4a - 3b = 8 - 3 = 5$。
当 $a=5, b=-3$ 时，$4a - 3b = 20 + 9 = 29$。
因此 $4a - 3b$ 的值为 $5$ 或 $29$。
提示：注意两种情形都要计算，不要遗漏。
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