安徽大学 2026年高等代数第0题

已知初等因子为：$\lambda, \lambda, \lambda^3, (\lambda-1)^2, \lambda-2, (\lambda-2)^2$。 按不可约因式分类： - 对于 $\lambda$：指数为 $1,1,3$，和为 $5$，故零特征值的代数重数为 $5$。 - 对于 $\lambda-1$：指数为 $2$，故特征值 $1$ 的代数重数为 $2$。 - 对于 $\lambda-2$：指数为 $1,2$，和为 $3$，故特征值 $2$ 的代数重数为 $3$。 矩阵阶数 $n = 5+2+3 = 10$。

矩阵秩为 $4$，则零特征值的几何重数（即零特征值的Jordan块个数）为 $n - \text{rank} = 10 - 4 = 6$。 但初等因子中 $\lambda$ 的初等因子有 $3$ 个（$\lambda, \lambda, \lambda^3$），对应 $3$ 个Jordan块，几何重数为 $3$，与 $6$ 矛盾。因此题目条件可能不一致，但按常规方法继续求解不变因子。

对于 $\lambda$：指数有 $3,1,1$，降序为 $3,1,1$。 对于 $\lambda-1$：指数有 $2$，降序为 $2$。 对于 $\lambda-2$：指数有 $2,1$，降序为 $2,1$。 最大列数为 $3$（$\lambda$ 有 $3$ 个指数），因此构造 $3$ 列。

将各列指数对应的因式相乘： - 第1列：$\lambda^3$、$(\lambda-1)^2$、$(\lambda-2)^2$ → $d_3(\lambda) = \lambda^3(\lambda-1)^2(\lambda-2)^2$ - 第2列：$\lambda^1$、无（视为 $1$）、$(\lambda-2)^1$ → $d_2(\lambda) = \lambda(\lambda-2)$ - 第3列：$\lambda^1$、无、无 → $d_1(\lambda) = \lambda$ 注意：这里 $d_1,d_2,d_3$ 是最后三个不变因子，前面还有 $7$ 个 $1$。

矩阵阶数为 $10$，不变因子个数为 $10$，其中前 $7$ 个为 $1$，后 $3$ 个为上述多项式： $$d_1(\lambda)=1,\ d_2(\lambda)=1,\ d_3(\lambda)=1,\ d_4(\lambda)=1,\ d_5(\lambda)=1,\ d_6(\lambda)=1,\ d_7(\lambda)=1,$$ $$d_8(\lambda)=\lambda,\ d_9(\lambda)=\lambda(\lambda-2),\ d_{10}(\lambda)=\lambda^3(\lambda-1)^2(\lambda-2)^2.$$ 通常答案只列出非 $1$ 的不变因子，即 $\lambda,\ \lambda(\lambda-2),\ \lambda^3(\lambda-1)^2(\lambda-2)^2$。