安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
12．设 $f(x)=x^{2}+2 x+3, g(x)=x^{3}-2$ ．
（1）求多项式 $u(x), v(x)$ ，使得 $(f(x), g(x))=u(x) f(x)+v(x) g(x)$ ．
（2）将分数 $\displaystyle \frac{1}{3+2 \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}$ 的分子分母乘以适当根式将分母有理化．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算最大公因式
用辗转相除法求 $f(x)=x^2+2x+3$ 与 $g(x)=x^3-2$ 的最大公因式。
第一步：$g(x) \div f(x)$，商为 $x-2$，余式为 $r_1(x)=x+4$。
即 $g(x) = (x-2)f(x) + (x+4)$。
第二步：$f(x) \div r_1(x)$，商为 $x-2$，余式为 $r_2(x)=11$。
即 $f(x) = (x-2)(x+4) + 11$。
由于余式 $11$ 是非零常数，故 $(f(x), g(x)) = 1$。
公式：辗转相除法：$a(x) = q(x)b(x) + r(x)$
提示：注意多项式除法中，余式的次数应小于除式的次数。
步骤 2/7
目标：回代求组合系数
从辗转相除的结果回代，将最大公因式 $1$ 表示为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的组合。
由 $11 = f(x) - (x-2)(x+4)$，且 $x+4 = g(x) - (x-2)f(x)$，代入得：
$11 = f(x) - (x-2)[g(x) - (x-2)f(x)] = [1+(x-2)^2]f(x) - (x-2)g(x)$。
两边除以 $11$：
$1 = \frac{1}{11}[1+(x-2)^2]f(x) - \frac{1}{11}(x-2)g(x)$。
公式：贝祖等式：$(f,g)=uf+vg$
提示：回代时注意符号和系数的正确性，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：写出 u(x) 和 v(x)
由 $1 = u(x)f(x) + v(x)g(x)$，得：
$u(x) = \frac{1}{11}[1+(x-2)^2] = \frac{1}{11}(x^2-4x+5)$，
$v(x) = -\frac{1}{11}(x-2)$。
提示：注意 $v(x)$ 的负号不要遗漏。
步骤 4/7
目标：设变量并构造有理化因子
令 $a = \sqrt[3]{2}$，则 $a^3 = 2$，分母为 $3+2a+a^2$。
设有理化因子为 $p(a) = A + Ba + Ca^2$，使得 $(3+2a+a^2)p(a)$ 为有理数。
公式：利用 $a^3=2$ 化简高次项
提示：注意 $a$ 满足三次方程，因此 $p(a)$ 可设为二次多项式。
步骤 5/7
目标：计算乘积并令无理项系数为零
计算乘积：
$(3+2a+a^2)(A+Ba+Ca^2) = 3A + (3B+2A)a + (3C+2B+A)a^2 + (2C+B)a^3 + C a^4$。
代入 $a^3=2$，$a^4=2a$，得：
常数项：$3A + 2B + 4C$；
$a$ 项：$3B+2A+4C$；
$a^2$ 项：$3C+2B+A$。
令 $a$ 和 $a^2$ 项系数为0：
$\begin{cases} 3B+2A+4C = 0 \\ 3C+2B+A = 0 \end{cases}$。
公式：多项式乘法与化简
提示：注意 $a^4$ 化简为 $2a$，不要遗漏。
步骤 6/7
目标：解方程组得到有理化因子
取 $A=1$，解方程组：
$\begin{cases} 3B+2+4C=0 \\ 3C+2B+1=0 \end{cases}$，解得 $B=1$，$C=-1$。
则 $p(a)=1+a-a^2$，常数项为 $3\cdot1+2\cdot1+4\cdot(-1)=1$。
因此 $(3+2a+a^2)(1+a-a^2)=1$。
公式：线性方程组求解
提示：解方程组时注意系数正确，也可取其他 $A$ 值，但结果比例相同。
步骤 7/7
目标：写出有理化结果
分母有理化后，原式等于有理化因子：
$\frac{1}{3+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}} = 1+\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}$。
提示：注意结果为正，不要遗漏负号。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。