安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
14．设 $A$ 是秩为 3 的 4 阶矩阵，且存在正整数 $k$ 使得 $A^{k}=O$ ，分别求 $A$ 与 $A^{2}$ 的 Jordan 标准型．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定矩阵性质
已知 $A$ 是 4 阶矩阵，秩为 3，且存在正整数 $k$ 使得 $A^k = O$，故 $A$ 是幂零矩阵，其特征值全为 0。
提示：幂零矩阵的特征值全为 0，但反之不真。
步骤 2/7
目标：计算几何重数
几何重数等于特征值 0 的特征空间维数，即 $\dim \ker A = 4 - \operatorname{rank}(A) = 4 - 3 = 1$。几何重数等于 Jordan 块的个数。
公式：$\dim \ker A = n - \operatorname{rank}(A)$
提示：几何重数等于线性无关特征向量的个数，即 Jordan 块个数。
步骤 3/7
目标：确定 A 的 Jordan 标准型
由于 Jordan 块个数为 1，且矩阵阶数为 4，故 $A$ 的 Jordan 标准型为 4 阶 Jordan 块：
$$J_A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：只有一个 Jordan 块时，Jordan 标准型就是单个幂零 Jordan 块。
步骤 4/7
目标：计算 A^2 的矩阵表示
利用 $A$ 的 Jordan 标准型 $J_A$，计算 $(J_A)^2$：
$$(J_A)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：注意 Jordan 块平方后，次对角线上的 1 会移动。
步骤 5/7
目标：分析 A^2 的秩和零度
矩阵 $(J_A)^2$ 的秩为 2（前两行线性无关），零度为 $4-2=2$。故 $A^2$ 的 Jordan 标准型有 2 个 Jordan 块。
公式：$\operatorname{rank}(A^2) = 2$, $\dim \ker(A^2) = 2$
提示：零度等于 Jordan 块个数。
步骤 6/7
目标：确定 A^2 的幂零指数
计算 $(J_A)^2$ 的平方：$((J_A)^2)^2 = O$，且 $(J_A)^2 \neq O$，故幂零指数为 2，即 Jordan 块的最大阶数为 2。
提示：幂零指数等于最大 Jordan 块的阶数。
步骤 7/7
目标：写出 A^2 的 Jordan 标准型
由于总阶数为 4，有 2 个 Jordan 块，最大阶数为 2，故每个 Jordan 块都是 2 阶，即：
$$J_{A^2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：两个 2 阶 Jordan 块可以交换顺序，但通常按阶数从大到小排列。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。