安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
15．设 $V$ 为数域 $F$ 上次数小于 $n$ 的全体多项式与零多项式构成的线性空间，定义 $V$ 上的线性变换
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\mathscr{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x), f(x) \in V .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定线性空间V的基
$V$ 是数域 $F$ 上次数小于 $n$ 的多项式与零多项式构成的线性空间，维数为 $n$。一组标准基为 $\{1, x, x^2, \dots, x^{n-1}\}$。
提示：注意次数小于n，最高次为n-1，基的个数为n。
步骤 2/6
目标：计算线性变换在基上的作用
对任意 $f(x) = x^k$，其中 $k = 0, 1, \dots, n-1$，有 $\mathscr{A}(x^k) = x \cdot k x^{k-1} - x^k = (k-1)x^k$。特别地，当 $k=0$ 时，$\mathscr{A}(1) = x \cdot 0 - 1 = -1 = (-1) \cdot 1$。
公式：$\mathscr{A}(x^k) = (k-1)x^k$
提示：注意求导法则：$(x^k)' = k x^{k-1}$，当k=0时导数为0。
步骤 3/6
目标：写出线性变换在基下的矩阵
由于 $\mathscr{A}(x^k) = (k-1)x^k$，每个基向量被映射为自身的倍数，因此矩阵是对角矩阵：$A = \operatorname{diag}(-1, 0, 1, 2, \dots, n-2)$。
公式：$A = \operatorname{diag}(-1, 0, 1, 2, \dots, n-2)$
提示：对角元对应k从0到n-1的(k-1)值。
步骤 4/6
目标：求特征值与特征向量
特征值即对角元：$\lambda_1 = -1, \lambda_2 = 0, \lambda_3 = 1, \lambda_4 = 2, \dots, \lambda_n = n-2$。对应的特征向量分别为基向量：$1, x, x^2, \dots, x^{n-1}$。
提示：特征向量是非零向量，基向量都是非零的。
步骤 5/6
目标：判断是否可对角化
由于矩阵是对角矩阵，显然可对角化，且基本身就是特征向量组成的基。
提示：对角矩阵一定可对角化。
步骤 6/6
目标：特殊情况讨论
当 $n=1$ 时，$V$ 仅由常数多项式组成，特征值只有 $-1$，特征向量为 $1$。
提示：注意n=1时，基只有{1}，特征值只有-1。
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