安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
8．设 $A$ 为非零实方阵，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $A^{\mathrm{T}}=A^{*}$ ，则 $A$ 可逆．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析秩的情况
设 $A$ 为 $n$ 阶非零实方阵，且 $A^{\mathrm{T}} = A^{*}$。假设 $A$ 不可逆，则 $\operatorname{rank}(A) \leq n-1$。分两种情况讨论：$\operatorname{rank}(A) \leq n-2$ 和 $\operatorname{rank}(A) = n-1$。
提示：注意 $A$ 非零的条件，不可逆时秩小于 $n$。
步骤 2/6
目标：处理秩 ≤ n-2 的情况
当 $\operatorname{rank}(A) \leq n-2$ 时，$A$ 的所有 $n-1$ 阶子式均为零，因此伴随矩阵 $A^{*} = 0$。由 $A^{\mathrm{T}} = A^{*}$ 得 $A^{\mathrm{T}} = 0$，从而 $A = 0$，与 $A$ 非零矛盾。
公式：$A^{*} = 0$ 当 $\operatorname{rank}(A) \leq n-2$
提示：伴随矩阵的定义：$A^{*}$ 的元素是 $A$ 的代数余子式，当秩小于 $n-1$ 时所有代数余子式为零。
步骤 3/6
目标：处理秩 = n-1 的情况（n>2）
当 $\operatorname{rank}(A) = n-1$ 时，$\operatorname{rank}(A^{*}) = 1$ 且 $A^{*} \neq 0$。由 $A^{\mathrm{T}} = A^{*}$ 得 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^{*}) = 1$，这与 $\operatorname{rank}(A) = n-1$ 矛盾（当 $n > 2$ 时）。
公式：$\operatorname{rank}(A^{*}) = 1$ 当 $\operatorname{rank}(A) = n-1$
提示：注意秩为 $n-1$ 时，伴随矩阵的秩为 1，但 $A$ 的秩为 $n-1$，除非 $n=2$ 否则矛盾。
步骤 4/6
目标：处理 n=2 的特殊情况
当 $n=2$ 时，设 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则 $A^{*} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$，$A^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$。由 $A^{\mathrm{T}} = A^{*}$ 得 $a = d$, $c = -b$, $b = -c$, $d = a$，即 $a = d$, $b = -c$。此时 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$，行列式 $\det(A) = a^2 + b^2$。
公式：$\det(A) = a^2 + b^2$
提示：注意 $c = -b$ 自动满足 $b = -c$，不要重复条件。
步骤 5/6
目标：证明 n=2 时 A 可逆
若 $A$ 不可逆，则 $\det(A) = a^2 + b^2 = 0$，由于 $a,b$ 为实数，得 $a = b = 0$，即 $A = 0$，与 $A$ 非零矛盾。因此 $A$ 可逆。
提示：实数平方和为零推出每个数为零。
步骤 6/6
目标：得出结论
综合以上讨论，所有情况均推出 $A$ 可逆，故原命题成立。
提示：注意分类讨论要完整。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。