安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
9．设 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $A-2 B=3 A B$ ，则 $A B=B A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：变形原方程
由 $A-2B=3AB$ 移项得 $A-3AB=2B$，即 $A(I-3B)=2B$。
公式：A(I-3B)=2B
提示：注意移项时符号不要出错，$A-2B=3AB$ 移项得 $A-3AB=2B$。
步骤 2/7
目标：证明 $I-3B$ 可逆
假设 $I-3B$ 不可逆，则存在非零向量 $x$ 使得 $(I-3B)x=0$，即 $x=3Bx$。代入 $A(I-3B)=2B$ 得 $0=2Bx$，故 $Bx=0$。从而 $x=3Bx=0$，与 $x\neq0$ 矛盾。因此 $I-3B$ 可逆。
提示：反证法是证明矩阵可逆的常用方法，注意非零向量的存在性。
步骤 3/7
目标：解出 $A$ 的表达式
由 $A(I-3B)=2B$ 两边右乘 $(I-3B)^{-1}$ 得 $A=2B(I-3B)^{-1}$。
公式：A=2B(I-3B)^{-1}
提示：右乘逆矩阵时注意顺序，因为矩阵乘法不交换。
步骤 4/7
目标：证明 $B$ 与 $(I-3B)^{-1}$ 可交换
由于 $B$ 与 $I-3B$ 可交换（因为 $B$ 与自身及单位矩阵可交换），即 $B(I-3B)=(I-3B)B$。两边同时左乘和右乘 $(I-3B)^{-1}$ 可得 $(I-3B)^{-1}B = B(I-3B)^{-1}$。
公式：B(I-3B)^{-1} = (I-3B)^{-1}B
提示：矩阵可交换性：若 $AB=BA$ 且 $A$ 可逆，则 $A^{-1}B=BA^{-1}$。
步骤 5/7
目标：计算 $AB$
$AB = [2B(I-3B)^{-1}]B = 2B[(I-3B)^{-1}B] = 2B[B(I-3B)^{-1}] = 2B^2(I-3B)^{-1}$。
公式：AB = 2B^2(I-3B)^{-1}
提示：利用上一步的交换性，注意括号的匹配。
步骤 6/7
目标：计算 $BA$
$BA = B[2B(I-3B)^{-1}] = 2B^2(I-3B)^{-1}$。
公式：BA = 2B^2(I-3B)^{-1}
提示：直接代入 $A$ 的表达式，注意矩阵乘法结合律。
步骤 7/7
目标：得出结论
由 $AB=2B^2(I-3B)^{-1}=BA$，故 $AB=BA$。
提示：最终结论需明确写出。
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