安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
10．设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶实矩阵，且满足
（1） $0 \leq a_{i j} \leq 1, i, j=1,2, \cdots, n$ ．
（2）$a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=1, i=1,2, \cdots, n$ ．
则对于每一个特征值 $\lambda$ ，都有 $|\lambda| \leq 1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定特征向量和最大分量
设 $\lambda$ 是 $A$ 的任意一个特征值，则存在非零向量 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$ 使得 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$。令 $|x_k| = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$，由于 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，故 $|x_k| > 0$。
公式：A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}
提示：注意特征向量非零，因此最大分量的绝对值大于0。
步骤 2/6
目标：写出第k个分量的方程
考虑第 $k$ 个分量，有 $\lambda x_k = \sum_{j=1}^n a_{kj} x_j$。
公式：\lambda x_k = \sum_{j=1}^n a_{kj} x_j
提示：确保正确写出矩阵乘法的分量形式。
步骤 3/6
目标：两边取绝对值并应用三角不等式
两边取绝对值，得 $|\lambda| |x_k| = \left| \sum_{j=1}^n a_{kj} x_j \right| \leq \sum_{j=1}^n a_{kj} |x_j|$。这里利用了三角不等式和 $a_{kj} \geq 0$。
公式：\left| \sum_{j=1}^n a_{kj} x_j \right| \leq \sum_{j=1}^n a_{kj} |x_j|
提示：注意 $a_{kj} \geq 0$，所以绝对值可以直接移到内部。
步骤 4/6
目标：利用最大分量放缩
由于 $|x_j| \leq |x_k|$ 对所有 $j$ 成立，故 $\sum_{j=1}^n a_{kj} |x_j| \leq \sum_{j=1}^n a_{kj} |x_k| = |x_k| \sum_{j=1}^n a_{kj}$。
公式：\sum_{j=1}^n a_{kj} |x_j| \leq |x_k| \sum_{j=1}^n a_{kj}
提示：放缩时注意方向，因为 $a_{kj} \geq 0$，所以不等式成立。
步骤 5/6
目标：应用行和为1的条件
由条件（2），$\sum_{j=1}^n a_{kj} = 1$，因此 $|x_k| \sum_{j=1}^n a_{kj} = |x_k|$。
公式：\sum_{j=1}^n a_{kj} = 1
提示：注意行和条件是对每一行都成立，这里用的是第k行。
步骤 6/6
目标：得到不等式并推导结论
综合以上，有 $|\lambda| |x_k| \leq |x_k|$。由于 $|x_k| > 0$，两边除以 $|x_k|$ 得 $|\lambda| \leq 1$。
提示：除以 $|x_k|$ 时确保其不为0。
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