安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
16．设 $A, B$ 均为正交矩阵，且 $|A|+|B|=0$ ，证明：$|A+B|=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用正交矩阵性质
因为 $A$ 和 $B$ 都是正交矩阵，所以 $A^T A = I$, $B^T B = I$，且 $|A| = \pm 1$, $|B| = \pm 1$。由条件 $|A|+|B|=0$ 得 $|A| = -|B|$，即 $|A|$ 与 $|B|$ 异号。
公式：A^T A = I, \quad B^T B = I, \quad |A| = \pm 1, \quad |B| = \pm 1
提示：注意正交矩阵的行列式只能是 1 或 -1。
步骤 2/5
目标：变形目标行列式
考虑 $|A+B|$。由于 $A$ 可逆且 $A^T = A^{-1}$，有 $|A+B| = |A||A^T(A+B)| = |A||I + A^T B|$。
公式：|A+B| = |A||I + A^T B|
提示：提取因子时注意行列式的乘法性质。
步骤 3/5
目标：定义新矩阵并验证正交性
令 $C = A^T B$，则 $C$ 是正交矩阵，因为 $C^T C = B^T A A^T B = B^T B = I$，且 $|C| = |A^T||B| = |A||B| = -|A|^2 = -1$（因为 $|A|^2=1$）。
公式：C = A^T B, \quad C^T C = I, \quad |C| = -1
提示：注意 $|A^T| = |A|$，且 $|A|^2=1$。
步骤 4/5
目标：证明 $I+C$ 奇异
由于 $C$ 是正交矩阵且 $|C| = -1$，则 $-1$ 是 $C$ 的一个特征值。事实上，正交矩阵的特征值模为1，实特征值只能是 $\pm 1$，而 $|C| = -1$ 意味着奇数个特征值为 $-1$，故至少有一个特征值为 $-1$。设对应特征向量 $\xi$，则 $C\xi = -\xi$，于是 $(I+C)\xi = 0$，所以 $I+C$ 奇异，即 $|I+C| = 0$。
公式：C\xi = -\xi \Rightarrow (I+C)\xi = 0
提示：注意正交矩阵的特征值性质：实特征值只能是 $\pm 1$，且行列式等于特征值乘积。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此 $|A+B| = |A| \cdot 0 = 0$。
公式：|A+B| = 0
提示：注意 $|A|$ 非零，乘积为零。
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