安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
17．已知 $A, B$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $B$ 是半正定矩阵，证明：若 $A B^{3}=B^{3} A$ ，则 $A B=B A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用半正定矩阵的对角化
由于 $B$ 是半正定实矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T B Q = \Lambda$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，且 $\lambda_i \geq 0$。
公式：Q^T B Q = \Lambda
提示：注意正交矩阵满足 $Q^T = Q^{-1}$，且半正定矩阵的特征值非负。
步骤 2/6
目标：变换条件等式
令 $\tilde{A} = Q^T A Q$，则条件 $A B^3 = B^3 A$ 等价于 $\tilde{A} \Lambda^3 = \Lambda^3 \tilde{A}$。这是因为 $Q^T A B^3 Q = Q^T A Q Q^T B^3 Q = \tilde{A} \Lambda^3$，而 $Q^T B^3 A Q = \Lambda^3 \tilde{A}$。
公式：\tilde{A} \Lambda^3 = \Lambda^3 \tilde{A}
提示：注意 $B^3$ 对角化为 $\Lambda^3$，因为 $Q^T B^3 Q = (Q^T B Q)^3 = \Lambda^3$。
步骤 3/6
目标：推导元素关系
由 $\tilde{A} \Lambda^3 = \Lambda^3 \tilde{A}$，比较矩阵的 $(i,j)$ 元素得 $\tilde{a}_{ij} \lambda_j^3 = \lambda_i^3 \tilde{a}_{ij}$，即 $(\lambda_i^3 - \lambda_j^3) \tilde{a}_{ij} = 0$。
公式：(\lambda_i^3 - \lambda_j^3) \tilde{a}_{ij} = 0
提示：注意矩阵乘法顺序：$\tilde{A} \Lambda^3$ 的 $(i,j)$ 元素是 $\tilde{a}_{ij} \lambda_j^3$，而 $\Lambda^3 \tilde{A}$ 的 $(i,j)$ 元素是 $\lambda_i^3 \tilde{a}_{ij}$。
步骤 4/6
目标：分析特征值相等与不等的情况
若 $\lambda_i \neq \lambda_j$，则 $\lambda_i^3 \neq \lambda_j^3$，从而 $\tilde{a}_{ij}=0$。若 $\lambda_i = \lambda_j$，则 $\lambda_i - \lambda_j = 0$，自然有 $(\lambda_i - \lambda_j) \tilde{a}_{ij}=0$。
提示：注意 $\lambda_i = \lambda_j$ 时，$\tilde{a}_{ij}$ 不一定为零，但 $\lambda_i - \lambda_j = 0$ 使得乘积为零。
步骤 5/6
目标：证明 $\tilde{A} \Lambda = \Lambda \tilde{A}$
由上述分析，对所有 $i,j$ 有 $(\lambda_i - \lambda_j) \tilde{a}_{ij}=0$，即 $\tilde{a}_{ij} \lambda_j = \lambda_i \tilde{a}_{ij}$，因此 $\tilde{A} \Lambda = \Lambda \tilde{A}$。
公式：\tilde{A} \Lambda = \Lambda \tilde{A}
提示：这一步是核心，需要从 $(\lambda_i^3 - \lambda_j^3) \tilde{a}_{ij}=0$ 推出 $(\lambda_i - \lambda_j) \tilde{a}_{ij}=0$，因为 $\lambda_i^3 - \lambda_j^3 = (\lambda_i - \lambda_j)(\lambda_i^2 + \lambda_i \lambda_j + \lambda_j^2)$，但这里直接利用 $\lambda_i \neq \lambda_j$ 时 $\tilde{a}_{ij}=0$ 即可。
步骤 6/6
目标：还原到原矩阵
由 $\tilde{A} \Lambda = \Lambda \tilde{A}$ 得 $Q^T A Q \cdot Q^T B Q = Q^T B Q \cdot Q^T A Q$，即 $Q^T (A B) Q = Q^T (B A) Q$。左乘 $Q$ 右乘 $Q^T$ 得 $A B = B A$。
公式：A B = B A
提示：注意 $Q$ 是正交矩阵，所以 $Q Q^T = I$。
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