安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
18．设 $\mathscr{A}$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂零线性变换，即存在正整数 $k$ ，使得 $\mathscr{A}^{k}=\mathscr{O}$ ，证明：存在 $V$ 上的线性变换 $\mathscr{B}$ ，使得 $\mathscr{B}^{2}=\mathscr{I}+\mathscr{A}$ ，其中 $\mathscr{I}$ 为恒等变换。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解幂零变换的性质
已知 $\mathscr{A}$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂零线性变换，即存在正整数 $k$ 使得 $\mathscr{A}^k = \mathcal{O}$（零变换）。这意味着 $\mathscr{A}$ 的所有特征值均为0，且 $\mathscr{A}$ 的极小多项式为 $x^m$ 形式，其中 $m \leq k$。
公式：$\mathscr{A}^k = \mathcal{O}$
提示：注意幂零变换不一定满足 $\mathscr{A}^n = \mathcal{O}$，但存在某个 $k$ 使得 $\mathscr{A}^k = \mathcal{O}$。
步骤 2/5
目标：引入形式幂级数展开
考虑函数 $f(x) = \sqrt{1+x}$ 的形式幂级数展开：$\sqrt{1+x} = \sum_{m=0}^\infty \binom{1/2}{m} x^m$，其中广义二项式系数 $\binom{1/2}{m} = \frac{(1/2)(1/2-1)\cdots(1/2-m+1)}{m!}$。该级数在 $|x|<1$ 时收敛，但作为形式幂级数，其平方等于 $1+x$。
公式：$\sqrt{1+x} = \sum_{m=0}^\infty \binom{1/2}{m} x^m$
提示：注意广义二项式系数的计算，特别是 $\binom{1/2}{0}=1$，$\binom{1/2}{1}=1/2$，$\binom{1/2}{2}=-1/8$ 等。
步骤 3/5
目标：利用幂零性截断级数
由于 $\mathscr{A}$ 是幂零的，$\mathscr{A}^k = \mathcal{O}$，因此对于任意 $m \geq k$，$\mathscr{A}^m = \mathcal{O}$。所以上述形式幂级数在代入 $x = \mathscr{A}$ 时只有前 $k$ 项非零，即 $\mathscr{B} = \sum_{m=0}^{k-1} \binom{1/2}{m} \mathscr{A}^m$ 是 $V$ 上的线性变换。
公式：$\mathscr{B} = \sum_{m=0}^{k-1} \binom{1/2}{m} \mathscr{A}^m$
提示：截断到 $k-1$ 项是因为 $\mathscr{A}^k = \mathcal{O}$，但 $\mathscr{A}^{k-1}$ 可能非零。
步骤 4/5
目标：验证 $\mathscr{B}^2 = \mathscr{I} + \mathscr{A}$
在形式幂级数中，有 $\left(\sum_{m=0}^\infty \binom{1/2}{m} x^m\right)^2 = 1+x$ 恒成立。代入 $x = \mathscr{A}$，由于 $\mathscr{A}$ 幂零，级数乘法中所有涉及 $\mathscr{A}^m$（$m \geq k$）的项均为零，因此等式在算子意义下成立：$\mathscr{B}^2 = \mathscr{I} + \mathscr{A}$。
公式：$\mathscr{B}^2 = \mathscr{I} + \mathscr{A}$
提示：验证时需注意算子乘法的结合性，以及 $\mathscr{A}^m$ 与 $\mathscr{A}^n$ 的乘积为 $\mathscr{A}^{m+n}$。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，我们构造了线性变换 $\mathscr{B} = \sum_{m=0}^{k-1} \binom{1/2}{m} \mathscr{A}^m$，满足 $\mathscr{B}^2 = \mathscr{I} + \mathscr{A}$，从而证明了存在性。
提示：注意 $\mathscr{B}$ 的定义依赖于 $k$，但 $k$ 是使得 $\mathscr{A}^k = \mathcal{O}$ 的任意正整数，通常取最小的 $k$ 即可。
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