安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
19．设 $\alpha$ 是 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb{R}^{n}$ 的一个非零向量，向量 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 满足
（1）$\left(\alpha_{i}, \alpha\right)>0,1 \leq i \leq n$ ．
（2）$\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right) \leq 0, i, j=1,2, \cdots, n ; i \neq j$ ．
证明：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：假设线性相关并构造零向量
假设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性相关，则存在一组不全为零的实数 $k_1, k_2, \dots, k_n$ 使得 $\sum_{i=1}^n k_i \alpha_i = 0$。令 $\beta = \sum_{i=1}^n k_i \alpha_i$，则 $\beta = 0$。
公式：$\sum_{i=1}^n k_i \alpha_i = 0$
提示：注意系数不全为零，但可能部分为零。
步骤 2/6
目标：对零向量与α作内积
对 $\beta$ 与 $\alpha$ 作内积：$(\beta, \alpha) = \sum_{i=1}^n k_i (\alpha_i, \alpha) = 0$。由条件 (1) 知 $(\alpha_i, \alpha) > 0$，因此系数 $k_i$ 不能全为正或全为负（否则内积非零）。故存在正系数和负系数。
公式：$(\beta, \alpha) = \sum_{i=1}^n k_i (\alpha_i, \alpha) = 0$
提示：注意内积的线性性质，以及正数之和为零意味着系数有正有负。
步骤 3/6
目标：分离正负系数并构造γ和δ
将指标集分为两部分：$I = \{i \mid k_i > 0\}$，$J = \{j \mid k_j < 0\}$。令 $\gamma = \sum_{i \in I} k_i \alpha_i$，$\delta = -\sum_{j \in J} k_j \alpha_j$，则 $\gamma = \delta$ 且 $\gamma, \delta$ 的系数均为正。
公式：$\gamma = \sum_{i \in I} k_i \alpha_i$，$\delta = -\sum_{j \in J} k_j \alpha_j$
提示：注意 $\delta$ 的定义中负号使得系数为正，且 $\gamma = \delta$ 是因为原和为零。
步骤 4/6
目标：计算γ与自身的内积
计算 $(\gamma, \gamma) = (\gamma, \delta) = \left( \sum_{i \in I} k_i \alpha_i, \sum_{j \in J} (-k_j) \alpha_j \right) = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} k_i (-k_j) (\alpha_i, \alpha_j)$。由于 $i \neq j$ 时 $(\alpha_i, \alpha_j) \leq 0$，且 $k_i > 0$，$-k_j > 0$，故每一项 $k_i (-k_j) (\alpha_i, \alpha_j) \leq 0$，从而 $(\gamma, \gamma) \leq 0$。
公式：$(\gamma, \gamma) = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} k_i (-k_j) (\alpha_i, \alpha_j) \leq 0$
提示：注意内积的双线性性，以及条件 (2) 中 $i \neq j$ 时内积非正。
步骤 5/6
目标：由内积非负性推出γ=0
由于欧氏空间中内积非负，即 $(\gamma, \gamma) \geq 0$，结合 $(\gamma, \gamma) \leq 0$ 得 $(\gamma, \gamma) = 0$，从而 $\gamma = 0$。
公式：$(\gamma, \gamma) = 0 \Rightarrow \gamma = 0$
提示：内积的正定性：只有零向量的内积为零。
步骤 6/6
目标：导出矛盾
由 $\gamma = 0$ 得 $\sum_{i \in I} k_i \alpha_i = 0$，且所有系数 $k_i > 0$。对 $\gamma$ 与 $\alpha$ 作内积：$0 = (\gamma, \alpha) = \sum_{i \in I} k_i (\alpha_i, \alpha) > 0$，矛盾。因此假设不成立，$\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 线性无关。
公式：$(\gamma, \alpha) = \sum_{i \in I} k_i (\alpha_i, \alpha) > 0$
提示：注意 $\gamma$ 非零但内积为零的矛盾，实际上 $\gamma=0$ 时内积应为0，但这里计算为正。
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