安徽大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
20．已知 $A$ 为实对称正定矩阵，$\lambda$ 为实数，$b$ 为非零实向量，设线性方程组 $(A+\lambda I) X=b$ 的解为 $X=X(\lambda)$ ，证明 $f(\lambda)=\|X(\lambda)\|$ 是 $[0,+\infty)$ 上的严格递减函数，这里 $\|X\|$ 表示向量 $X$ 的长度。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析矩阵性质
由于 $A$ 是实对称正定矩阵，其特征值均为正数，记为 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n > 0$。对于 $\lambda \geq 0$，矩阵 $A+\lambda I$ 的特征值为 $\lambda_i + \lambda > 0$，故可逆。方程组 $(A+\lambda I)X = b$ 的解为 $X(\lambda) = (A+\lambda I)^{-1}b$。
提示：注意 $\lambda$ 是实数且非负，确保 $A+\lambda I$ 可逆。
步骤 2/5
目标：利用正交对角化简化表达式
由于 $A$ 对称正定，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$。令 $y = Q^T b$，则 $X(\lambda) = (A+\lambda I)^{-1}b = Q (\Lambda + \lambda I)^{-1} Q^T b = Q (\Lambda + \lambda I)^{-1} y$。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$
提示：正交矩阵满足 $Q^T = Q^{-1}$，注意对角化顺序。
步骤 3/5
目标：计算范数的平方
计算 $\|X(\lambda)\|^2 = X(\lambda)^T X(\lambda) = y^T (\Lambda + \lambda I)^{-2} y = \sum_{i=1}^n \frac{y_i^2}{(\lambda_i + \lambda)^2}$。因此 $f(\lambda) = \sqrt{\sum_{i=1}^n \frac{y_i^2}{(\lambda_i + \lambda)^2}}$。由于 $b \neq 0$，$y \neq 0$，故至少有一个 $y_i \neq 0$。
公式：$\|X(\lambda)\|^2 = \sum_{i=1}^n \frac{y_i^2}{(\lambda_i + \lambda)^2}$
提示：注意 $y_i$ 是 $y$ 的分量，$b \neq 0$ 保证 $y \neq 0$。
步骤 4/5
目标：求导并判断符号
对 $f(\lambda)$ 求导：$f'(\lambda) = \frac{1}{2f(\lambda)} \cdot \left( -2 \sum_{i=1}^n \frac{y_i^2}{(\lambda_i + \lambda)^3} \right) = -\frac{1}{f(\lambda)} \sum_{i=1}^n \frac{y_i^2}{(\lambda_i + \lambda)^3}$。由于 $f(\lambda) > 0$，且 $\lambda_i + \lambda > 0$，$y_i^2 \geq 0$，且至少一项为正，故 $\sum_{i=1}^n \frac{y_i^2}{(\lambda_i + \lambda)^3} > 0$，从而 $f'(\lambda) < 0$ 对所有 $\lambda \geq 0$ 成立。
公式：$f'(\lambda) = -\frac{1}{f(\lambda)} \sum_{i=1}^n \frac{y_i^2}{(\lambda_i + \lambda)^3}$
提示：求导时注意链式法则，分母 $f(\lambda)$ 为正。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此 $f(\lambda)$ 在 $[0, +\infty)$ 上严格递减。
提示：严格递减要求导数严格小于0，这里满足。
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