安徽师范大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
一，（20 分）设 $k$ 和 $n$ 都是正整数，多项式 $\displaystyle f(x)=x^{n}-1, d(x)=x^{k}-1$ ，证明：
$\displaystyle d(x)$ 整除 $\displaystyle f(x)$ 当且仅当 $k$ 整除 $n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解问题与设定符号
设 $k$ 和 $n$ 为正整数，$f(x)=x^n-1$，$d(x)=x^k-1$。要证明 $d(x) \mid f(x)$ 当且仅当 $k \mid n$。
提示：注意整除符号 $\mid$ 表示多项式整除，即存在多项式 $q(x)$ 使得 $f(x)=d(x)q(x)$。
步骤 2/4
目标：必要性：假设 $d(x) \mid f(x)$，推导 $k \mid n$
若 $d(x) \mid f(x)$，则存在多项式 $q(x)$ 使得 $x^n-1 = (x^k-1)q(x)$。考虑复数单位根。令 $\omega = e^{2\pi i/k}$，则 $\omega^k=1$ 且 $\omega \neq 1$（若 $k=1$ 则结论显然）。代入 $x=\omega$ 得 $\omega^n-1 = (\omega^k-1)q(\omega)=0$，故 $\omega^n=1$。因此 $\omega$ 也是 $n$ 次单位根，即 $e^{2\pi i n/k}=1$，所以 $k \mid n$。
公式：$\omega = e^{2\pi i/k}$，$\omega^n=1 \Rightarrow k \mid n$
提示：注意 $\omega$ 是 $k$ 次本原单位根，代入后利用 $\omega^k=1$ 但 $\omega \neq 1$ 得到 $\omega^n=1$。
步骤 3/4
目标：充分性：假设 $k \mid n$，构造因式分解
若 $k \mid n$，设 $n = km$，其中 $m$ 为正整数。则 $x^n-1 = x^{km}-1 = (x^k)^m - 1$。利用公式 $a^m-1 = (a-1)(a^{m-1}+a^{m-2}+\cdots+a+1)$，令 $a=x^k$，得 $x^n-1 = (x^k-1)(x^{k(m-1)}+x^{k(m-2)}+\cdots+x^k+1)$。因此 $x^k-1$ 整除 $x^n-1$。
公式：$a^m-1 = (a-1)(a^{m-1}+a^{m-2}+\cdots+a+1)$
提示：注意 $a=x^k$，分解后第二个因子是多项式，确保整除成立。
步骤 4/4
目标：总结结论
由必要性（$d(x) \mid f(x) \Rightarrow k \mid n$）和充分性（$k \mid n \Rightarrow d(x) \mid f(x)$），得 $d(x) \mid f(x) \iff k \mid n$。
提示：注意必要性和充分性都要证明，缺一不可。
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