安徽师范大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
七，（20 分）设 3 级复方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ -4 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ ，
（1）$A$ 的不变因子，初等因子．
（2）$A$ 的最小多项式．
（3）$A$ 的若尔当标准型．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造特征矩阵
计算特征矩阵 $\lambda I - A$：
$$\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda & -1 & -1 \\ 4 & \lambda+4 & 2 \\ 0 & 0 & \lambda+2 \end{pmatrix}.$$
公式：$\lambda I - A$
提示：注意符号：$A$ 中元素取负号，对角线加 $\lambda$。
步骤 2/8
目标：计算三阶行列式因子 $D_3(\lambda)$
按第三行展开计算行列式：
$$\det(\lambda I - A) = (\lambda+2) \det\begin{pmatrix} \lambda & -1 \\ 4 & \lambda+4 \end{pmatrix} = (\lambda+2)[\lambda(\lambda+4)+4] = (\lambda+2)(\lambda^2+4\lambda+4) = (\lambda+2)^3.$$
所以 $D_3(\lambda) = (\lambda+2)^3$。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda+2)^3$
提示：展开时注意符号，按第三行展开，第三行只有第三列非零。
步骤 3/8
目标：计算二阶行列式因子 $D_2(\lambda)$
列出所有2阶子式并求最大公因子：
- 取第1、2行和第1、2列：$\begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ 4 & \lambda+4 \end{vmatrix} = (\lambda+2)^2$。
- 第1、2行和第1、3列：$\begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 2(\lambda+2)$。
- 第1、2行和第2、3列：$\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ \lambda+4 & 2 \end{vmatrix} = \lambda+2$。
- 第1、3行和第1、2列：$0$。
- 第1、3行和第1、3列：$\lambda(\lambda+2)$。
- 第1、3行和第2、3列：$- (\lambda+2)$。
- 第2、3行和第1、2列：$0$。
- 第2、3行和第1、3列：$4(\lambda+2)$。
- 第2、3行和第2、3列：$(\lambda+4)(\lambda+2)$。
最大公因子为 $\lambda+2$，故 $D_2(\lambda) = \lambda+2$。
公式：$D_2(\lambda) = \lambda+2$
提示：注意零子式不影响最大公因子；非零子式中 $\lambda+2$ 是次数最低的。
步骤 4/8
目标：计算一阶行列式因子 $D_1(\lambda)$
所有1阶子式为 $\lambda, -1, -1, 4, \lambda+4, 2, 0, 0, \lambda+2$，最大公因子为 $1$，故 $D_1(\lambda)=1$。
公式：$D_1(\lambda)=1$
提示：常数项的最大公因子为1。
步骤 5/8
目标：求不变因子
不变因子为：
$$d_1(\lambda) = D_1(\lambda) = 1,$$
$$d_2(\lambda) = \frac{D_2(\lambda)}{D_1(\lambda)} = \lambda+2,$$
$$d_3(\lambda) = \frac{D_3(\lambda)}{D_2(\lambda)} = \frac{(\lambda+2)^3}{\lambda+2} = (\lambda+2)^2.$$
公式：$d_i(\lambda) = D_i(\lambda)/D_{i-1}(\lambda)$
提示：注意 $D_0(\lambda)=1$，且 $d_i$ 需为首一多项式。
步骤 6/8
目标：求初等因子
将不变因子分解为一次因式的幂：$d_2(\lambda)=\lambda+2$，$d_3(\lambda)=(\lambda+2)^2$，故初等因子为 $\lambda+2$ 和 $(\lambda+2)^2$。
公式：初等因子为不变因子中一次因式幂的全体
提示：注意重复的幂要分别列出。
步骤 7/8
目标：求最小多项式
最小多项式是所有初等因子中最高次幂的乘积，即 $m(\lambda) = (\lambda+2)^2$。
公式：$m(\lambda) = \prod (\lambda-\lambda_i)^{\text{最大幂次}}$
提示：最小多项式是最后一个不变因子 $d_n(\lambda)$，但这里 $d_3(\lambda)=(\lambda+2)^2$，所以一致。
步骤 8/8
目标：求若尔当标准型
由初等因子 $\lambda+2$ 对应1阶若尔当块 $J_1(-2)=(-2)$，$(\lambda+2)^2$ 对应2阶若尔当块 $J_2(-2)=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$，故若尔当标准型为：
$$J = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.$$
公式：若尔当块 $J_k(\lambda)=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \lambda & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}_{k\times k}$
提示：注意若尔当块中1的位置在上次对角线。
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