安徽师范大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
三，（10 分）设 $n$ 是一个正整数，计算 $\displaystyle n+1$ 阶行列式：
$$
D_{n+1}=\left|\begin{array}{cccccc}
x & 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
1 & x & 2 & \cdots & n-1 & n \\
1 & 2 & x & \cdots & n-1 & n \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
1 & 2 & 3 & \cdots & x & n \\
1 & 2 & 3 & \cdots & n & x
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：行变换：相邻行相减
将第 $i$ 行减去第 $i-1$ 行，其中 $i=n+1, n, \dots, 2$。即从最后一行开始，依次将每一行减去上一行。得到新行列式：
$$D_{n+1}=\begin{vmatrix}
x & 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\
1-x & x-1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1-x & x-2 & \cdots & 0 & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x-(n-1) & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1-x & x-n
\end{vmatrix}.$$
公式：行变换：$R_i \leftarrow R_i - R_{i-1}$
提示：注意变换顺序：从最后一行开始，否则会破坏已变换的行。
步骤 2/5
目标：列变换：后列加到前列
将第 $2$ 列加到第 $1$ 列，第 $3$ 列加到第 $2$ 列，……，第 $n+1$ 列加到第 $n$ 列。即依次将每一列加到前一列。得到：
$$D_{n+1}=\begin{vmatrix}
x+\sum_{k=1}^n k & 1+2+\cdots+n & 2+\cdots+n & \cdots & n-1+n & n \\
0 & x-1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1-x & x-2 & \cdots & 0 & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & x-(n-1) & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1-x & x-n
\end{vmatrix}.$$
公式：列变换：$C_j \leftarrow C_j + C_{j+1}$
提示：注意列变换顺序：从第2列开始加到第1列，依次进行，最后第n+1列加到第n列。
步骤 3/5
目标：计算第一行元素
计算第一行各元素的和：
- 第1列：$x+\sum_{k=1}^n k = x+\frac{n(n+1)}{2}$
- 第2列：$1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$
- 第3列：$2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}-1$
- ……
- 第n列：$(n-1)+n = 2n-1$
- 第n+1列：$n$
公式：等差数列求和：$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$
提示：注意第一行元素在列变换后的表达式，特别是第2列及以后的和是从不同起点开始的。
步骤 4/5
目标：按第一行展开行列式
按第一行展开行列式。由于第一行除第一列外，其他元素对应的余子式的第一列均为0（因为第一列除第一行外全为0），所以只有第一个子式非零。第一行第一列元素 $x+\frac{n(n+1)}{2}$ 的余子式是下三角行列式，对角线元素为 $x-1, x-2, \dots, x-n$。因此：
$$D_{n+1} = \left(x+\frac{n(n+1)}{2}\right) \prod_{k=1}^n (x-k).$$
公式：行列式按行展开：$\det(A) = \sum_{j=1}^{n+1} a_{1j} A_{1j}$，其中 $A_{1j}$ 是代数余子式
提示：注意余子式的符号：$A_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j}$，但此处第一行第一列元素符号为正。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，$n+1$ 阶行列式的值为：
$$D_{n+1} = \left(x+\frac{n(n+1)}{2}\right) \prod_{k=1}^n (x-k).$$
这就是最终答案。
提示：检查 $n=1$ 时的特殊情况：$D_2 = (x+1)(x-1) = x^2-1$，与直接计算一致。
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