安徽师范大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, B=\left(b_{i j}\right)$ 都是正定矩阵， $\displaystyle c_{i j}=a_{i j} b_{i j},(i, j=1,2, \cdots, n)$ ，证明：$n$ 级方阵 $\displaystyle C=\left(c_{i j}\right)$ 也是正定矩阵。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用正定矩阵的分解性质
由于 $A$ 和 $B$ 都是正定矩阵，存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$ 使得 $A = P^T P$，$B = Q^T Q$。记 $P = (p_{ij})$，$Q = (q_{ij})$，则 $a_{ij} = \sum_{k=1}^n p_{ki} p_{kj}$，$b_{ij} = \sum_{l=1}^n q_{li} q_{lj}$。
公式：A = P^T P, B = Q^T Q
提示：注意正定矩阵的分解不唯一，但存在性保证。
步骤 2/5
目标：表示矩阵C的元素
由 $c_{ij} = a_{ij} b_{ij}$，代入分解式得：
$$c_{ij} = \left(\sum_{k=1}^n p_{ki} p_{kj}\right)\left(\sum_{l=1}^n q_{li} q_{lj}\right) = \sum_{k,l=1}^n (p_{ki} q_{li})(p_{kj} q_{lj}).$$
公式：c_{ij} = \sum_{k,l} (p_{ki} q_{li})(p_{kj} q_{lj})
提示：注意下标顺序，p_{ki} 中k是行指标，i是列指标。
步骤 3/5
目标：构造向量并表示为和形式
定义 $n^2$ 个 $n$ 维列向量 $\mathbf{v}_{kl} = (p_{k1} q_{l1}, p_{k2} q_{l2}, \dots, p_{kn} q_{ln})^T$，则 $C = \sum_{k,l=1}^n \mathbf{v}_{kl} \mathbf{v}_{kl}^T$。
公式：C = \sum_{k,l} \mathbf{v}_{kl} \mathbf{v}_{kl}^T
提示：注意向量外积得到矩阵。
步骤 4/5
目标：证明半正定性
对任意非零列向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，有
$$\mathbf{x}^T C \mathbf{x} = \sum_{k,l=1}^n \mathbf{x}^T \mathbf{v}_{kl} \mathbf{v}_{kl}^T \mathbf{x} = \sum_{k,l=1}^n (\mathbf{v}_{kl}^T \mathbf{x})^2 \ge 0.$$
公式：\mathbf{x}^T C \mathbf{x} = \sum (\mathbf{v}_{kl}^T \mathbf{x})^2
提示：平方和非负，得到半正定。
步骤 5/5
目标：证明正定性（非退化性）
若 $\mathbf{x}^T C \mathbf{x} = 0$，则对所有 $k,l$ 有 $\mathbf{v}_{kl}^T \mathbf{x} = 0$，即 $\sum_{j=1}^n p_{kj} q_{lj} x_j = 0$。固定 $k$，考虑 $l=1,\dots,n$，得 $\sum_{j=1}^n p_{kj} q_{lj} x_j = 0$。由于 $Q$ 可逆，向量 $(q_{l1},\dots,q_{ln})$ 线性无关，故 $p_{kj} x_j = 0$ 对所有 $k,j$ 成立。又 $P$ 可逆，存在 $k$ 使得 $p_{kj} \neq 0$，从而 $x_j = 0$，即 $\mathbf{x}=0$。因此 $C$ 正定。
提示：注意利用可逆矩阵行向量线性无关的性质。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。