安徽师范大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
二，（ 15 分 ）设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 和 $\displaystyle f_{2}(x)$ 都 是 非 零 的 复 系 数 多 项 式，且 $\displaystyle \left(x^{2}+x+1\right) \mid\left(x f_{1}\left(x^{3}\right)+f_{2}\left(x^{3}\right)\right)$ ，证明：$\displaystyle (x-1) \mid\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入三次单位根
设 $\omega = e^{2\pi i/3}$，则 $\omega^2+\omega+1=0$，且 $\omega^3=1$。
公式：$\omega^2+\omega+1=0$，$\omega^3=1$
提示：注意 $\omega$ 是三次单位根，满足 $\omega^3=1$ 且 $\omega\neq1$。
步骤 2/7
目标：利用整除条件得到根
由条件 $(x^2+x+1) \mid (x f_1(x^3)+f_2(x^3))$，知 $\omega$ 和 $\omega^2$ 是多项式 $x f_1(x^3)+f_2(x^3)$ 的根。
提示：注意 $x^2+x+1$ 的根是 $\omega$ 和 $\omega^2$，且它们互异。
步骤 3/7
目标：代入第一个根 $\omega$
代入 $x=\omega$ 得：$\omega f_1(\omega^3)+f_2(\omega^3)=\omega f_1(1)+f_2(1)=0$，即 $\omega f_1(1)+f_2(1)=0$。
公式：$\omega f_1(1)+f_2(1)=0$
提示：注意 $\omega^3=1$，所以 $f_1(\omega^3)=f_1(1)$，$f_2(\omega^3)=f_2(1)$。
步骤 4/7
目标：代入第二个根 $\omega^2$
代入 $x=\omega^2$ 得：$\omega^2 f_1(\omega^6)+f_2(\omega^6)=\omega^2 f_1(1)+f_2(1)=0$，即 $\omega^2 f_1(1)+f_2(1)=0$。
公式：$\omega^2 f_1(1)+f_2(1)=0$
提示：注意 $\omega^6=(\omega^3)^2=1$，所以 $f_1(\omega^6)=f_1(1)$，$f_2(\omega^6)=f_2(1)$。
步骤 5/7
目标：解方程组得 $f_1(1)=0$
得到方程组：
\begin{cases}
\omega f_1(1)+f_2(1)=0,\\
\omega^2 f_1(1)+f_2(1)=0.
\end{cases}
两式相减得 $(\omega-\omega^2)f_1(1)=0$，由于 $\omega \neq \omega^2$，故 $f_1(1)=0$。
公式：$(\omega-\omega^2)f_1(1)=0$
提示：注意 $\omega-\omega^2\neq0$，因为 $\omega$ 和 $\omega^2$ 是互异的复数。
步骤 6/7
目标：代入得 $f_2(1)=0$
将 $f_1(1)=0$ 代入第一式 $\omega f_1(1)+f_2(1)=0$，得 $f_2(1)=0$。
提示：代入时注意 $\omega \neq 0$，但 $f_1(1)=0$ 直接消去 $\omega$。
步骤 7/7
目标：结论：$(x-1)$ 整除 $f_1$ 和 $f_2$
因此 $1$ 是 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 的公共根，即 $(x-1) \mid f_1(x)$ 且 $(x-1) \mid f_2(x)$，所以 $(x-1) \mid (f_1(x), f_2(x))$。
提示：注意 $(f_1(x), f_2(x))$ 表示最大公因式，$(x-1)$ 整除两者意味着整除最大公因式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。