安徽师范大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
五，（20 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & b & 1 \\ b & a & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$ 都是 3 级实对称矩阵，且有正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=B$ ，试求 $\displaystyle a, b$ 和正交矩阵 $P$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定A的特征值
由于存在正交矩阵P使得$P^{-1}AP=B$，且B是对角矩阵$\operatorname{diag}(0,1,4)$，故A与B正交相似，因此A的特征值为0,1,4。
提示：注意正交相似意味着特征值相同，且特征向量正交。
步骤 2/8
目标：计算A的特征多项式
计算$|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & -b & -1 \\ -b & \lambda-a & -1 \\ -1 & -1 & \lambda-1 \end{vmatrix}$。展开得：
$$(\lambda-1)[(\lambda-a)(\lambda-1)-1] + b[-b(\lambda-1)-1] - [b + (\lambda-a)] = 0$$
化简为：
$$(\lambda-1)[(\lambda-a)(\lambda-1)-1-b^2] - (\lambda-a) - 2b = 0$$
公式：特征多项式$|\lambda I - A| = 0$
提示：行列式展开时注意符号，尤其是副对角线项的符号。
步骤 3/8
目标：利用特征值求参数a,b
将特征值$\lambda=0$代入特征多项式得：
$$(-1)[(-a)(-1)-1-b^2] - (-a) - 2b = 0 \Rightarrow b^2-2b+1=0 \Rightarrow b=1$$
将$\lambda=1$代入得：
$$(0)[(1-a)(0)-1-b^2] - (1-a) - 2b = 0 \Rightarrow a-1-2b=0 \Rightarrow a=3$$
验证$\lambda=4$成立。故$a=3,b=1$。
公式：特征多项式在特征值处为零
提示：代入时小心计算，注意符号。
步骤 4/8
目标：写出A的具体形式
将$a=3,b=1$代入A得：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
步骤 5/8
目标：求特征值0的特征向量
解$(A-0I)x=0$，即$Ax=0$：
$$\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+3x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+x_3=0 \end{cases}$$
两式相减得$2x_2=0$，故$x_2=0$，$x_1=-x_3$。取基础解系$\alpha_1=(1,0,-1)^T$，单位化得$p_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^T$。
公式：解齐次线性方程组$(A-\lambda I)x=0$
提示：注意单位化时模长计算正确。
步骤 6/8
目标：求特征值1的特征向量
解$(A-I)x=0$：
$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}x=0$$
得$x_2+x_3=0$，$x_1+2x_2+x_3=0$，$x_1+x_2=0$，解得$x_1=-x_2$，$x_3=-x_2$。取$\alpha_2=(1,-1,1)^T$，单位化得$p_2=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)^T$。
提示：注意检查方程组是否一致。
步骤 7/8
目标：求特征值4的特征向量
解$(A-4I)x=0$：
$$\begin{pmatrix} -3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}x=0$$
解得$x_1=x_2=x_3$。取$\alpha_3=(1,1,1)^T$，单位化得$p_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T$。
提示：注意特征向量之间应正交，可验证内积。
步骤 8/8
目标：构造正交矩阵P
将单位化后的特征向量按列排成矩阵：
$$P = (p_1, p_2, p_3) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$$
且$P^{-1}AP = B$。
公式：正交矩阵$P$满足$P^TAP = B$
提示：注意特征向量顺序应与B中特征值顺序一致。
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