安徽师范大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
八，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$T$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换， $\displaystyle T^{2}=T, T^{-1}(0)=\{\xi \in V \mid T \xi=0\}$ 是 $T$ 的核，$\displaystyle T(V)=\{T \xi \mid \xi \in V\}$ 是 $T$ 的值域。证明
（1）$\displaystyle T^{-1}(0)=\{\xi-T \xi \mid \xi \in V\}$ ；
（2）$\displaystyle V=T^{-1}(0) \oplus T(V)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明核包含于集合 {ξ - Tξ}
任取 $\alpha \in T^{-1}(0)$，则 $T\alpha = 0$。取 $\xi = \alpha$，则 $\xi - T\xi = \alpha - T\alpha = \alpha$，故 $\alpha \in \{\xi - T\xi \mid \xi \in V\}$。因此 $T^{-1}(0) \subseteq \{\xi - T\xi \mid \xi \in V\}$。
提示：注意取 $\xi = \alpha$ 时，$\xi - T\xi$ 恰好等于 $\alpha$。
步骤 2/6
目标：证明集合 {ξ - Tξ} 包含于核
任取 $\eta \in \{\xi - T\xi \mid \xi \in V\}$，则存在 $\xi \in V$ 使得 $\eta = \xi - T\xi$。计算 $T\eta = T(\xi - T\xi) = T\xi - T^2\xi = T\xi - T\xi = 0$，故 $\eta \in T^{-1}(0)$。因此 $\{\xi - T\xi \mid \xi \in V\} \subseteq T^{-1}(0)$。
公式：$T^2 = T$
提示：利用 $T^2 = T$ 化简 $T(\xi - T\xi)$。
步骤 3/6
目标：得出核的等价表示
由前两步的互相包含关系，得 $T^{-1}(0) = \{\xi - T\xi \mid \xi \in V\}$。
提示：集合相等需证明双向包含。
步骤 4/6
目标：证明 V 等于核与值域之和
任取 $\xi \in V$，令 $\alpha = \xi - T\xi$，$\beta = T\xi$。由(1)知 $\alpha \in T^{-1}(0)$，而 $\beta \in T(V)$，且 $\xi = \alpha + \beta$，故 $V = T^{-1}(0) + T(V)$。
提示：分解 $\xi$ 为 $\xi - T\xi$ 和 $T\xi$ 是关键。
步骤 5/6
目标：证明核与值域的交集为零空间
设 $\gamma \in T^{-1}(0) \cap T(V)$，则 $T\gamma = 0$，且存在 $\eta \in V$ 使得 $\gamma = T\eta$。于是 $0 = T\gamma = T(T\eta) = T^2\eta = T\eta = \gamma$，故 $\gamma = 0$。因此 $T^{-1}(0) \cap T(V) = \{0\}$。
公式：$T^2 = T$
提示：注意 $T\gamma = 0$ 和 $\gamma = T\eta$ 结合使用 $T^2 = T$。
步骤 6/6
目标：得出直和分解
由和与交的结果，得 $V = T^{-1}(0) \oplus T(V)$。
提示：直和需要和与交为零两个条件。
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