安徽师范大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
六，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换．，$\displaystyle \xi \in V$使得 $\displaystyle \sigma^{n-1}(\xi) \neq 0$ 但 $\displaystyle \sigma^{n}(\xi) \neq 0$ ，证明
（1）向量组 $\displaystyle \xi, \sigma(\xi), \cdots \sigma^{n-1}(\xi)$ 是线性无关的；
（2）$\displaystyle \sigma$ 在一组基下的矩阵是 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\end{array}\right)$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：假设线性相关并取最小非零系数下标
假设存在不全为零的系数 $k_0, k_1, \dots, k_{n-1}$ 使得 $k_0 \xi + k_1 \sigma(\xi) + \cdots + k_{n-1} \sigma^{n-1}(\xi) = 0$。令 $m$ 为满足 $k_m \neq 0$ 的最小下标，则上式化为 $k_m \sigma^m(\xi) + k_{m+1} \sigma^{m+1}(\xi) + \cdots + k_{n-1} \sigma^{n-1}(\xi) = 0$。
提示：注意最小下标 $m$ 的存在性，因为系数不全为零。
步骤 2/6
目标：作用 $\sigma^{n-1-m}$ 化简
对等式两边同时作用 $\sigma^{n-1-m}$，得到 $k_m \sigma^{n-1}(\xi) + k_{m+1} \sigma^{n}(\xi) + \cdots + k_{n-1} \sigma^{2n-2-m}(\xi) = 0$。
提示：注意线性变换的复合运算：$\sigma^{a}(\sigma^{b}(\xi)) = \sigma^{a+b}(\xi)$。
步骤 3/6
目标：利用条件 $\sigma^n(\xi)=0$ 消去高阶项
由题目条件 $\sigma^{n-1}(\xi) \neq 0$ 且 $\sigma^n(\xi)=0$（原题条件有误，应为 $\sigma^n(\xi)=0$），可知当 $j \geq n$ 时 $\sigma^j(\xi)=0$。因此上式中所有 $j \geq n$ 的项均为零，只剩下第一项 $k_m \sigma^{n-1}(\xi)=0$。
公式：$\sigma^n(\xi)=0 \Rightarrow \sigma^j(\xi)=0$ 对任意 $j \geq n$
提示：注意 $\sigma^{n-1}(\xi) \neq 0$ 是已知条件，不能忽略。
步骤 4/6
目标：推出矛盾，证明线性无关
由于 $\sigma^{n-1}(\xi) \neq 0$，由 $k_m \sigma^{n-1}(\xi)=0$ 得 $k_m=0$，与 $k_m \neq 0$ 矛盾。故假设不成立，向量组 $\xi, \sigma(\xi), \dots, \sigma^{n-1}(\xi)$ 线性无关。
提示：反证法：假设线性相关推出矛盾。
步骤 5/6
目标：确定基并计算各向量的像
由 (1) 知 $\xi, \sigma(\xi), \dots, \sigma^{n-1}(\xi)$ 是 $V$ 的一组基。计算 $\sigma$ 在每个基向量上的作用：$\sigma(\xi) = \sigma(\xi)$，$\sigma(\sigma(\xi)) = \sigma^2(\xi)$，...，$\sigma(\sigma^{n-2}(\xi)) = \sigma^{n-1}(\xi)$，$\sigma(\sigma^{n-1}(\xi)) = \sigma^n(\xi)=0$。
提示：注意 $\sigma$ 作用在 $\sigma^{n-1}(\xi)$ 上得到零向量。
步骤 6/6
目标：写出 $\sigma$ 在该基下的矩阵
将每个像用基线性表示：$\sigma(\xi) = 0\cdot\xi + 1\cdot\sigma(\xi) + 0\cdot\sigma^2(\xi) + \cdots + 0\cdot\sigma^{n-1}(\xi)$，$\sigma(\sigma(\xi)) = 0\cdot\xi + 0\cdot\sigma(\xi) + 1\cdot\sigma^2(\xi) + \cdots + 0\cdot\sigma^{n-1}(\xi)$，...，$\sigma(\sigma^{n-1}(\xi)) = 0\cdot\xi + 0\cdot\sigma(\xi) + \cdots + 0\cdot\sigma^{n-1}(\xi)$。因此矩阵为 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：矩阵的第 $i$ 列是 $\sigma(\sigma^{i-1}(\xi))$ 的坐标，注意列的顺序。
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