安徽师范大学 2014年高等代数第0题
📝 题目
四，（20 分）设 $n$ 是一个正整数，$A$ 是一个 $n$ 级实矩阵，$\displaystyle A^{T}$ 是 $A$ 的转置矩阵，$b$一个 $n$ 维实的列向量，证明：线性方程组 $\displaystyle A^{T} A x=A^{T} b$ 必定有解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入最小二乘问题
考虑线性方程组 $Ax = b$，通常可能无解。我们转而寻找 $x$ 使得残差 $r = b - Ax$ 的欧几里得范数平方 $\|r\|^2 = \|b - Ax\|^2$ 最小，这就是最小二乘问题。
公式：$\|b - Ax\|^2$
提示：注意最小二乘问题总是有解，因为目标函数是连续且下方有界的。
步骤 2/6
目标：推导法方程
对目标函数 $f(x) = \|b - Ax\|^2 = (b - Ax)^T(b - Ax)$ 求导，令梯度为零：$\nabla f(x) = -2A^T(b - Ax) = 0$，整理得 $A^T A x = A^T b$，称为法方程。
公式：$A^T A x = A^T b$
提示：求导时注意矩阵求导法则，$\frac{\partial}{\partial x} (x^T M x) = 2M x$ 当 $M$ 对称。
步骤 3/6
目标：说明法方程必有解
由于最小二乘问题总有解（目标函数是凸二次函数，最小值存在），因此法方程 $A^T A x = A^T b$ 必定有解。这是最直接的证明。
提示：凸二次函数的最小值可以通过求解梯度为零得到，且解存在。
步骤 4/6
目标：代数证明：秩相等
另一种证明：利用秩的关系。由于 $\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A)$，且 $\operatorname{Col}(A^T A) \subseteq \operatorname{Col}(A^T)$，而 $\dim \operatorname{Col}(A^T A) = \operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A) = \dim \operatorname{Col}(A^T)$，因此 $\operatorname{Col}(A^T A) = \operatorname{Col}(A^T)$。
公式：$\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A)$
提示：注意 $\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(A)$ 对实矩阵成立，因为 $\ker(A^T A) = \ker(A)$。
步骤 5/6
目标：说明 $A^T b$ 属于列空间
由于 $A^T b \in \operatorname{Col}(A^T)$，而 $\operatorname{Col}(A^T) = \operatorname{Col}(A^T A)$，所以存在 $x$ 使得 $A^T A x = A^T b$，即方程组有解。
提示：注意列空间相等是关键的步骤。
步骤 6/6
目标：总结
综上，线性方程组 $A^T A x = A^T b$ 必定有解。
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