安徽师范大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
一，（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是一个整系数多项式，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为互不相同的四个整数，若 $\displaystyle f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)=f\left(a_{3}\right)=f\left(a_{4}\right)=1$ ，证明：对于任意整数 $\displaystyle n, f(n)-1$ 一定不为素数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造新多项式
设 $g(x) = f(x) - 1$，则 $g(x)$ 是整系数多项式，且 $g(a_1) = g(a_2) = g(a_3) = g(a_4) = 0$。
公式：g(x) = f(x) - 1
提示：注意 $g(x)$ 的根是 $a_1, a_2, a_3, a_4$，且 $g(x)$ 仍是整系数多项式。
步骤 2/8
目标：因式分解
由于 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 是 $g(x)$ 的根，根据因式定理，$g(x)$ 可分解为 $g(x) = (x - a_1)(x - a_2)(x - a_3)(x - a_4) h(x)$，其中 $h(x)$ 是整系数多项式。
公式：g(x) = (x - a_1)(x - a_2)(x - a_3)(x - a_4) h(x)
提示：因式定理要求多项式在根处为零，且由于 $g(x)$ 是整系数多项式，$h(x)$ 也是整系数多项式。
步骤 3/8
目标：代入整数 n
对于任意整数 $n$，有 $f(n) - 1 = g(n) = (n - a_1)(n - a_2)(n - a_3)(n - a_4) h(n)$。
公式：f(n) - 1 = (n - a_1)(n - a_2)(n - a_3)(n - a_4) h(n)
提示：注意 $n$ 是整数，所以每个因子都是整数。
步骤 4/8
目标：分析 n 等于某个 a_i 的情况
若 $n$ 等于某个 $a_i$，则 $n - a_i = 0$，从而 $f(n) - 1 = 0$，不是素数。
提示：0 不是素数，素数定义为大于1的自然数。
步骤 5/8
目标：分析 n 不等于任何 a_i 的情况
若 $n$ 不等于任何 $a_i$，则 $n - a_i$ 均非零。由于 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相同，$n - a_i$ 是四个不同的整数（可能正负）。因此，这四个因子中至少有两个绝对值大于1（因为四个不同整数，不可能同时为 ±1）。
提示：注意四个不同整数，若其中三个为 ±1，则第四个必为其他值，但 ±1 只有两个可能值，所以最多两个因子绝对值为1。
步骤 6/8
目标：讨论乘积的绝对值
设 $P = (n - a_1)(n - a_2)(n - a_3)(n - a_4)$，则 $|P|$ 是至少两个不同非零整数的乘积，且 $|P| \geq 2$。而 $h(n)$ 是整数，且 $|h(n)| \geq 1$（因为 $h(x)$ 是整系数多项式，但可能为零，若 $h(n)=0$ 则 $f(n)-1=0$ 不是素数）。因此 $|f(n)-1| = |P| \cdot |h(n)|$ 是至少两个大于1的整数之积（除非 $|P|=1$ 且 $|h(n)|$ 为素数，但 $|P|=1$ 不可能，因为四个不同整数乘积的绝对值至少为2）。
提示：注意 $h(n)$ 可能为0，但此时 $f(n)-1=0$ 不是素数。
步骤 7/8
目标：得出矛盾
若 $f(n)-1$ 是素数，则其绝对值只能分解为1乘以自身。但 $|f(n)-1|$ 至少是两个大于1的整数之积（因为 $|P| \geq 2$ 且 $|h(n)| \geq 1$，且 $|P|$ 本身已是合数或至少有两个因子），因此 $|f(n)-1|$ 是合数或0，不可能是素数。
提示：注意素数只能被1和自身整除，而这里 $|f(n)-1|$ 有非平凡因子。
步骤 8/8
目标：结论
综上所述，对于任意整数 $n$，$f(n)-1$ 一定不是素数。
提示：结论成立，无需额外条件。
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