安徽师范大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
七，（20 分）设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 可以经过正交线性替换化为 $\displaystyle 3 y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+b y_{3}^{2}$ ．
（1）求 $\displaystyle a, b$ 的值，并判断二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 是否为正定二次型．
（2）写出所作的正交线性替换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型矩阵并利用特征值条件
二次型 $f$ 的矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & a \\ -2 & a & 1 \end{pmatrix}$。经正交变换化为 $3y_1^2+3y_2^2+by_3^2$，故 $A$ 的特征值为 $3,3,b$。
提示：注意正交变换下特征值不变，且标准形的系数即为特征值。
步骤 2/7
目标：利用迹和行列式求参数
由特征值之和等于迹：$3+3+b = 1+1+1 = 3$，得 $b = -3$。特征值之积等于行列式：$3 \cdot 3 \cdot (-3) = -27 = \det A$。计算 $\det A = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & a \\ -2 & a & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1-a^2) - (-2) \cdot (-2+2a) + (-2) \cdot (-2a+2) = 1-a^2 -4+4a +4a-4 = -7 - a^2 + 8a$。令 $-7 - a^2 + 8a = -27$，得 $a^2 - 8a -20 = 0$，解得 $a = 10$ 或 $a = -2$。
公式：$\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A)$, $\prod \lambda_i = \det A$
提示：计算行列式时注意符号，避免代数错误。
步骤 3/7
目标：利用特征值重数条件确定a
特征值 $3$ 的重数为 $2$，故 $\operatorname{rank}(A-3I)=1$。$A-3I = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & a \\ -2 & a & -2 \end{pmatrix}$。当 $a=10$ 时，矩阵为 $\begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & 10 \\ -2 & 10 & -2 \end{pmatrix}$，秩为 $2$（第二行与第三行不成比例），不满足；当 $a=-2$ 时，矩阵为 $\begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & -2 \end{pmatrix}$，秩为 $1$，满足。故 $a=-2, b=-3$。
公式：特征值 $\lambda$ 的几何重数等于 $n - \operatorname{rank}(A-\lambda I)$
提示：检查秩的条件时，注意行简化或观察行向量是否成比例。
步骤 4/7
目标：判断正定性
二次型 $f$ 的特征值为 $3,3,-3$，有正有负，故不是正定二次型。
公式：实二次型正定当且仅当所有特征值大于0
提示：正定性要求所有特征值严格为正。
步骤 5/7
目标：求特征值3的特征向量
解 $(A-3I)x=0$，即 $\begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & -2 \end{pmatrix} x = 0$，得 $x_1+x_2+x_3=0$。取两个正交的单位特征向量：$\xi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T$，$\xi_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)^T$。
提示：注意正交化，确保两个特征向量正交。
步骤 6/7
目标：求特征值-3的特征向量
解 $(A+3I)x=0$，$A+3I = \begin{pmatrix} 4 & -2 & -2 \\ -2 & 4 & -2 \\ -2 & -2 & 4 \end{pmatrix}$，行变换得 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，得 $x_1=x_3, x_2=x_3$，取 $\xi_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T$。
提示：解齐次线性方程组时注意行简化正确。
步骤 7/7
目标：写出正交变换矩阵和变换
正交变换矩阵 $Q = (\xi_1, \xi_2, \xi_3)$，即 $Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$。正交线性替换为 $x = Qy$，即
\[
\begin{cases}
x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} y_1 + \frac{1}{\sqrt{6}} y_2 + \frac{1}{\sqrt{3}} y_3 \\
x_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} y_1 + \frac{1}{\sqrt{6}} y_2 + \frac{1}{\sqrt{3}} y_3 \\
x_3 = -\frac{2}{\sqrt{6}} y_2 + \frac{1}{\sqrt{3}} y_3
\end{cases}
\]
提示：注意正交矩阵的列向量是单位正交的，且顺序对应特征值。
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