安徽师范大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
三，（15 分）设 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，$A$ 为 $n$ 阶实矩阵，且满足 $\displaystyle A^{2}+2 A+2 E=0$ ．证明（1）对于任意实数 $a$ ，方阵 $\displaystyle A+a E$ 都是可逆矩阵。
（2）将 $\displaystyle A+3 E$ 的逆矩阵表示为 $A$ 的多项式．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析特征值条件
设 $\lambda$ 是 $A$ 的任意特征值，对应的特征向量为 $\xi \neq 0$，则 $A\xi = \lambda \xi$。代入已知方程 $A^2+2A+2E=0$，得 $(\lambda^2+2\lambda+2)\xi=0$。由于 $\xi \neq 0$，有 $\lambda^2+2\lambda+2=0$。
公式：$\lambda^2+2\lambda+2=0$
提示：注意特征向量非零，才能得到特征方程。
步骤 2/7
目标：求解特征值
解方程 $\lambda^2+2\lambda+2=0$，得 $\lambda = -1 \pm i$。因此 $A$ 的特征值只能是 $-1+i$ 或 $-1-i$，均为非实数。
公式：$\lambda = -1 \pm i$
提示：判别式 $\Delta = 4-8 = -4 < 0$，故特征值为复数。
步骤 3/7
目标：证明可逆性
对于任意实数 $a$，$-a$ 是实数，而 $A$ 的特征值都不是实数，故 $-a$ 不可能是 $A$ 的特征值。因此 $A+aE$ 可逆。
提示：可逆的充要条件是 $0$ 不是特征值，即 $-a$ 不是 $A$ 的特征值。
步骤 4/7
目标：设逆矩阵形式
由 $A^2+2A+2E=0$ 得 $A^2 = -2A-2E$。设 $(A+3E)^{-1} = \alpha A + \beta E$，其中 $\alpha,\beta$ 为待定实数。
公式：$A^2 = -2A-2E$
提示：逆矩阵可表示为 $A$ 的多项式，次数不超过1。
步骤 5/7
目标：展开并代入
由 $(A+3E)(\alpha A+\beta E)=E$ 展开得 $\alpha A^2 + 3\alpha A + \beta A + 3\beta E = E$。代入 $A^2 = -2A-2E$，得 $\alpha(-2A-2E) + 3\alpha A + \beta A + 3\beta E = E$。
提示：注意矩阵乘法顺序，$A$ 与 $E$ 可交换。
步骤 6/7
目标：合并同类项
整理得 $(\alpha + \beta)A + (-2\alpha + 3\beta)E = E$。比较系数得方程组：
\begin{cases}
\alpha + \beta = 0 \\
-2\alpha + 3\beta = 1
\end{cases}
提示：比较系数时，$A$ 与 $E$ 线性无关。
步骤 7/7
目标：解方程组
解得 $\alpha = -\frac{1}{5}$，$\beta = \frac{1}{5}$。因此 $(A+3E)^{-1} = -\frac{1}{5}A + \frac{1}{5}E = \frac{1}{5}(E - A)$。
公式：$(A+3E)^{-1} = \frac{1}{5}(E - A)$
提示：注意系数符号，代入验证可确保正确。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。