安徽师范大学 2017年高等代数第0题

设 $A$ 是复数域上的 $n$ 阶方阵，秩为 $r$。则存在可逆矩阵 $P, Q \in GL_n(\mathbb{C})$ 使得 $A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$，其中 $I_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵。

令 $B = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。考虑对称矩阵 $S_1 = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 和 $S_2 = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $B = S_1 S_2$。但这里 $S_1$ 和 $S_2$ 都是对称的。实际上，对于任意 $r$，$B$ 本身是对称的，但我们需要两个对称矩阵的乘积等于 $B$，最简单的取法是 $S_1 = B$，$S_2 = I$，但 $I$ 是对称的，所以 $B = B \cdot I$ 即是一个分解。

由于 $A = P B Q$，且 $B = S_1 S_2$，其中 $S_1, S_2$ 对称，则 $A = P S_1 S_2 Q$。我们希望将 $P$ 和 $Q$ 吸收进对称矩阵中。考虑 $A = (P S_1 P^T) \cdot ((P^{-1})^T S_2 Q)$。这里 $P S_1 P^T$ 是对称的，但 $(P^{-1})^T S_2 Q$ 不一定对称。我们需要调整。

另一种方法：考虑 $A$ 的若尔当标准形 $J$，存在可逆矩阵 $S$ 使得 $A = S J S^{-1}$。每个若尔当块 $J_k(\lambda)$ 可以分解为两个对称矩阵的乘积。例如，对于 $2 \times 2$ 若尔当块 $\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$，可分解为 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \lambda \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}$，这两个矩阵都是对称的。一般地，存在对称矩阵 $T_1, T_2$ 使得 $J = T_1 T_2$。

由 $A = S J S^{-1} = S T_1 T_2 S^{-1}$，令 $A_1 = S T_1 S^T$，$A_2 = (S^{-1})^T T_2 S^{-1}$，则 $A_1$ 和 $A_2$ 都是对称矩阵，且 $A_1 A_2 = S T_1 S^T (S^{-1})^T T_2 S^{-1} = S T_1 T_2 S^{-1} = A$。因此，存在对称矩阵 $A_1, A_2$ 使得 $A = A_1 A_2$。

综上，对于复数域上的任意 $n$ 阶方阵 $A$，总存在对称矩阵 $A_1$ 和 $A_2$ 使得 $A = A_1 A_2$。