安徽师范大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
二．（15 分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为 $n$ 个互不相同的实数，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ 为 $n$ 个次数不超过 $\displaystyle n-2$ 的式系数多项式，计算 $n$ 阶行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
f_{1}\left(a_{1}\right) & f_{1}\left(a_{2}\right) & \cdots & f_{1}\left(a_{n}\right) \\
f_{2}\left(a_{1}\right) & f_{2}\left(a_{2}\right) & \cdots & f_{2}\left(a_{n}\right) \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
f_{n}\left(a_{1}\right) & f_{n}\left(a_{2}\right) & \cdots & f_{n}\left(a_{n}\right)
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析多项式次数与线性表示
由于每个 $f_i(x)$ 是次数不超过 $n-2$ 的多项式，因此 $f_i(x)$ 可以表示为基 $1, x, \dots, x^{n-2}$ 的线性组合：$f_i(x) = \sum_{k=0}^{n-2} c_{ik} x^k$，其中 $c_{ik}$ 为实系数。
公式：$f_i(x) = \sum_{k=0}^{n-2} c_{ik} x^k$
提示：注意次数不超过 $n-2$，所以最高次项为 $x^{n-2}$，共有 $n-1$ 个基函数。
步骤 2/6
目标：将行列式按列展开为线性组合
将 $f_i(a_j)$ 代入行列式 $D_n$，第 $j$ 列向量为 $(f_1(a_j), f_2(a_j), \dots, f_n(a_j))^T$。利用线性表示，第 $j$ 列可写为 $\sum_{k=0}^{n-2} a_j^k \mathbf{c}_k$，其中 $\mathbf{c}_k = (c_{1k}, c_{2k}, \dots, c_{nk})^T$。因此 $D_n = \det\left( \sum_{k=0}^{n-2} a_1^k \mathbf{c}_k, \sum_{k=0}^{n-2} a_2^k \mathbf{c}_k, \dots, \sum_{k=0}^{n-2} a_n^k \mathbf{c}_k \right)$。
公式：$D_n = \det\left( \sum_{k=0}^{n-2} a_1^k \mathbf{c}_k, \dots, \sum_{k=0}^{n-2} a_n^k \mathbf{c}_k \right)$
提示：注意列向量的线性组合，每个列向量是 $n-1$ 个向量的线性组合。
步骤 3/6
目标：利用行列式的多重线性性质展开
由行列式的多重线性性质，$D_n$ 可以展开为所有可能的 $k_1, k_2, \dots, k_n$ 取遍 $0$ 到 $n-2$ 的求和：$D_n = \sum_{k_1=0}^{n-2} \sum_{k_2=0}^{n-2} \cdots \sum_{k_n=0}^{n-2} \left( \prod_{j=1}^n a_j^{k_j} \right) \det(\mathbf{c}_{k_1}, \mathbf{c}_{k_2}, \dots, \mathbf{c}_{k_n})$。
公式：$D_n = \sum_{k_1,\dots,k_n=0}^{n-2} \left( \prod_{j=1}^n a_j^{k_j} \right) \det(\mathbf{c}_{k_1}, \dots, \mathbf{c}_{k_n})$
提示：展开时每个列独立选取一个 $k$，注意 $k_j$ 可以重复。
步骤 4/6
目标：分析系数向量的个数与列数的关系
向量 $\mathbf{c}_k$ 只有 $n-1$ 个不同的值（$k=0,1,\dots,n-2$），而我们需要从 $n$ 个列中选取 $n$ 个向量。在求和项中，$k_1,\dots,k_n$ 是 $n$ 个取值于 $\{0,1,\dots,n-2\}$ 的指标，由于 $n > n-1$，由鸽巢原理，至少有两个 $k_j$ 相等。
提示：注意 $n$ 个指标只有 $n-1$ 种可能，必然有重复。
步骤 5/6
目标：证明每个行列式项为零
对于任意一组 $k_1,\dots,k_n$，若存在 $i \neq j$ 使得 $k_i = k_j$，则行列式 $\det(\mathbf{c}_{k_1}, \dots, \mathbf{c}_{k_n})$ 中有两列相同，因此该行列式为零。从而求和中的每一项都为零，故 $D_n = 0$。
公式：$\det(\mathbf{c}_{k_1}, \dots, \mathbf{c}_{k_n}) = 0$ 当 $k_i = k_j$ 时
提示：行列式两列相同则值为零，这是行列式的基本性质。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，原行列式 $D_n = 0$。
公式：$D_n = 0$
提示：结论与 $a_i$ 和 $f_i$ 的具体形式无关，只要满足次数条件即可。
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