安徽师范大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
五，（20 分）已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots \alpha_{m-1}(m \geq 2)$ 线性相关，向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots \alpha_{m}$ 线性无关．证明（1）$\displaystyle \alpha_{1}$ 可以由 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots \alpha_{m}$ 线性表出，且表示方式唯一；
（2）$\displaystyle \alpha_{m}$ 不能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots \alpha_{m-1}$ 线性表出．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用线性相关条件得到系数关系
由于向量组 $\alpha_1, \cdots, \alpha_{m-1}$ 线性相关，存在不全为零的数 $k_1, \cdots, k_{m-1}$ 使得 $k_1 \alpha_1 + \cdots + k_{m-1} \alpha_{m-1} = 0$。
公式：$k_1 \alpha_1 + \cdots + k_{m-1} \alpha_{m-1} = 0$
提示：注意不全为零的条件，这是线性相关的定义。
步骤 2/7
目标：证明 $k_1 \neq 0$
假设 $k_1 = 0$，则 $k_2, \cdots, k_{m-1}$ 不全为零，且 $k_2 \alpha_2 + \cdots + k_{m-1} \alpha_{m-1} = 0$。由于 $\alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关，其部分组 $\alpha_2, \cdots, \alpha_{m-1}$ 也线性无关，矛盾。故 $k_1 \neq 0$。
提示：注意部分组线性无关的性质。
步骤 3/7
目标：得到 $\alpha_1$ 的线性表示
由 $k_1 \neq 0$，将方程变形得 $\alpha_1 = -\frac{k_2}{k_1} \alpha_2 - \cdots - \frac{k_{m-1}}{k_1} \alpha_{m-1}$。因此 $\alpha_1$ 可由 $\alpha_2, \cdots, \alpha_{m-1}$ 线性表出，当然也可由 $\alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性表出（令 $\alpha_m$ 的系数为0）。
公式：$\alpha_1 = -\frac{k_2}{k_1} \alpha_2 - \cdots - \frac{k_{m-1}}{k_1} \alpha_{m-1}$
提示：注意系数可为零，表示方式不唯一性待证。
步骤 4/7
目标：证明表示方式唯一
设 $\alpha_1 = a_2 \alpha_2 + \cdots + a_m \alpha_m$ 和 $\alpha_1 = b_2 \alpha_2 + \cdots + b_m \alpha_m$，两式相减得 $(a_2 - b_2) \alpha_2 + \cdots + (a_m - b_m) \alpha_m = 0$。由于 $\alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关，故 $a_i - b_i = 0$，即 $a_i = b_i$，所以表示唯一。
公式：$(a_2 - b_2) \alpha_2 + \cdots + (a_m - b_m) \alpha_m = 0$
提示：线性无关保证系数全为零。
步骤 5/7
目标：反证法假设 $\alpha_m$ 可由 $\alpha_1, \cdots, \alpha_{m-1}$ 线性表出
假设 $\alpha_m$ 可由 $\alpha_1, \cdots, \alpha_{m-1}$ 线性表出，即存在数 $c_1, \cdots, c_{m-1}$ 使得 $\alpha_m = c_1 \alpha_1 + \cdots + c_{m-1} \alpha_{m-1}$。
公式：$\alpha_m = c_1 \alpha_1 + \cdots + c_{m-1} \alpha_{m-1}$
提示：注意这是反证法的假设。
步骤 6/7
目标：代入 $\alpha_1$ 的表示导出矛盾
由(1)知 $\alpha_1$ 可由 $\alpha_2, \cdots, \alpha_{m-1}$ 线性表出，设 $\alpha_1 = d_2 \alpha_2 + \cdots + d_{m-1} \alpha_{m-1}$，代入上式得 $\alpha_m = c_1 (d_2 \alpha_2 + \cdots + d_{m-1} \alpha_{m-1}) + c_2 \alpha_2 + \cdots + c_{m-1} \alpha_{m-1} = e_2 \alpha_2 + \cdots + e_{m-1} \alpha_{m-1}$，即 $\alpha_m$ 可由 $\alpha_2, \cdots, \alpha_{m-1}$ 线性表出。
公式：$\alpha_m = e_2 \alpha_2 + \cdots + e_{m-1} \alpha_{m-1}$
提示：注意合并同类项。
步骤 7/7
目标：得出矛盾并完成证明
从而 $\alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关，与已知 $\alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关矛盾。故假设不成立，$\alpha_m$ 不能由 $\alpha_1, \cdots, \alpha_{m-1}$ 线性表出。
提示：注意线性相关与线性无关的定义。
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