安徽师范大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
八，（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实方阵，证明：
（1）$\displaystyle r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$ ；
（2）若存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{k}=0$（即 $A$ 为幂零矩阵），则 $\displaystyle r(A) \leq \frac{n(k-1)}{k}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明 Sylvester 不等式
考虑线性变换的核空间维数关系。设 $V$ 是 $n$ 维实向量空间，$A,B$ 视为 $V$ 上的线性变换。对于任意 $x \in \ker(AB)$，有 $Bx \in \ker(A)$，且 $\ker(B) \subseteq \ker(AB)$。因此，$\dim\ker(AB) \leq \dim\ker(A) + \dim\ker(B)$。由维数公式 $\dim\ker(T) = n - r(T)$，代入得 $n - r(AB) \leq (n - r(A)) + (n - r(B))$，整理即得 $r(AB) \geq r(A) + r(B) - n$。
公式：\dim\ker(AB) \leq \dim\ker(A) + \dim\ker(B)
提示：注意核空间的包含关系：$\ker(B) \subseteq \ker(AB)$，且 $B(\ker(AB)) \subseteq \ker(A)$。
步骤 2/3
目标：证明幂零矩阵的秩不等式
设 $A$ 是 $n$ 阶幂零矩阵，满足 $A^k = 0$。考虑 $A$ 的 Jordan 标准形。由于 $A$ 的特征值全为 0，其 Jordan 块均为形如 $J(0, \lambda_i)$ 的幂零块，其中 $\lambda_i$ 为 Jordan 块阶数，且 $\lambda_i \leq k$。设共有 $s$ 个 Jordan 块，则 $\sum_{i=1}^s \lambda_i = n$。每个 $\lambda_i$ 阶 Jordan 块的秩为 $\lambda_i - 1$，故 $r(A) = \sum_{i=1}^s (\lambda_i - 1) = n - s$。
公式：r(A) = n - s
提示：Jordan 块阶数不超过 $k$，且秩等于阶数减 1。
步骤 3/3
目标：利用阶数条件放缩
由于每个 $\lambda_i \leq k$，有 $n = \sum_{i=1}^s \lambda_i \leq k s$，从而 $s \geq \frac{n}{k}$。代入 $r(A) = n - s$ 得 $r(A) \leq n - \frac{n}{k} = \frac{n(k-1)}{k}$。等号成立当且仅当所有 $\lambda_i = k$ 且 $k$ 整除 $n$。
公式：s \geq \frac{n}{k}
提示：注意 $s$ 是整数，$n/k$ 可能不是整数，但不等式 $s \geq \lceil n/k \rceil$ 更精确，但 $s \geq n/k$ 已足够。
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